Параметр арқылы берілген функцияның туындысы. Функциясын кейде параметрлік түрде жазған ыңғайлы болады

Онда . Сонымен параметр арқылы берілген функцияның туындысы:

мысал. , табу керек. Шешімі:

Функцияның дифференциалы. функциясының шектелген туындысы бар болсын, онда: , демек шексіз аз шама.

Онда функцияның өсімшесі былай жазылады: . Осы теңдікте екінші қосылғыш , ке қарағанда жоғарғы ретті шексіз аз шама болғандықтан, бірінші қосылғыш ке эквивалентті шама болады.

Анықтама. Функцияның туындысының аргументтің өсімшесіне көбейтіндісін дифференциал деп атайды және мына түрде жазады: . Дербес жағдайда, егер болса, онда , осыдан және осыны пайдаланып дифференциалдың формуласын былай жазуға болады: . Осыдан , яғни туынды функцияның дифференциалының аргумент дифференциалына бөлінген мәніне тең.

Дифференциалды есептеу ережесі. Айталық және дифференциалданатын функциялар болсын,

1. , мұндағы с –сан.

2. ,

3. , егер .

4. Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал нүктесінде дифференциалданатын болса, онда күрделі функция үшін, . Бұл ережені бірінші дифференциал формасының инварианттығы деп атайды. Дифференциалды жуықтап есептеуге қолдануға болады. Айталық, функциясы дифференциалданатын болсын, онда оның өсімшесі:

, осыдан .

Егер нүктесінде функцияның мәні берілсе, онда: .

мысал. -ты жуықтап есепте.

.

Әдебиеттер: 1 нег.[211-238], 11 қос. [359-375], [377-385].

Бақылау сұрақтар:

1. Туындының анықтамасын келтіріңіз. Оның механикалық және геометриялық мағынасы қандай?

2. Кері функцияның туындысы туралы теорема. Кері тригонометриялық функцияларды дифференциалдау формулаларын жазыңыз.

3. Функцияның дифференциалының анықтамасын келтіріңіз. Жуықтап есептеуде

дифференциалдың қолдануы неге негізделген?

№10-дәріс. Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар. Жоғарғы ретті туындылар және дифференциалдар.

берілген функциясының бірінші немесе бірінші ретті туындысы, ал функцияның өзі нөлінші ретті туынды деп аталады.

Анықтама. Функцияның –ші ретті туындысы деп оның ( -1)-ші туындысының туындысын айтады , =1,2,3,…, егер олар бар болса, онда функциясы -рет дифференциалданатын функция деп аталады.

Мысал. функциясы берілген. Бірінші туындысы , екінші туындысы , үшінші туындысы . Демек, , . Егер және функциялары –рет дифференциалданатын болса, онда ( ), мына ережелер орынды: , .

2. Лейбниц формуласы:

; .

Айталық функциясы –рет дифференциалданатын болсын.

Анықтама. Функцияның –ші дифференциалы деп оның ( )–ші ретті дифференциалының дифференциалын айтады: .

Дифференциалды есептеу формулаларын келтірейік:

,

,

,

… … … … … … … … … … … … … … …

. –шы ретті дифференциалдар үшін мына ережелер орынды:

1) , .

2) , .

Ескерту: Жоғарғы ретті дифференциал формасы инвариантты емес.

Дифференциалдық есептеулердің негізгі теоремалары

Анықтама. Егер нүктесінің бір маңайында теңсіздігі орындалса, онда нүктесін функциясының жергілікті минимум (максимум) нүктесі деп атайды. Жергілікті минимум және жергілікті максимум нүктелері жергілікті экстремум нүктелері деп аталады. Ал осы нүктелердегі функцияның мәні функцияның экстремумы деп аталады. кесіндісінде анықталған функцияның тек қана бір ең үлкен және ең кіші мәндері болады, ал максимумдар және минимумдер бірнеше болуы мүмкін. Функцияның кейбір максимумдары оның минимумдарынан кіші болуы да мүмкін.

Ферма теоремасы. Егер функциясы интервалында дифференциалданатын болса және нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдайтын болса, онда функцияның туындысы бұл нүктеде нөлге тең, яғни .

Геометриялық мағынасы: функцияның максимум және минимум нүктелерінде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.

Ролль теоремасы. Егер функциясы: кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және болса, онда ең болмағанда бір нүктесі табылып, болады.

Геометриялық мағынасы: егер теорема шарттары толығымен орындалса, онда кесіндісінде жататын ең болмағанда бір нүктесі табылып, сол нүктеде жүргізілген жанама өсіне параллель болады.

Kоши теоремасы. Егер және функциялары кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса және , онда ең болмағанда бір нүктесі табылып теңдігі орындалады.

Лагранж теоремасы. Егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болса, интервалында дифференциалданатын болса онда интервалында жататын нүктесі табылып, теңдігі орындалады.

Геометриялық мағынасы: мына қатынас кесіндісінде функциясының графигінің шеткі нүктелерін қосатын хорданың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрыштың тангесіне тең, ал нүктесіне жүргізілген жанаманың өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенісіне тең. Лагранж теоремасы бойынша нүктесінде олар өзара тең болады, яғни қиюшы мен жанама параллель болады.

Лопиталь ережесі. Бұл ереже немесе анықталмағандықтарын есептеуге мүмкіндік береді.

Теорема. Айталық, нүктесінің маңайында және функциялары анықталған және дифференциалданатын болсын (нүктенің өзінде бұл шарттар орындалмауы да мүмкін) және , , . Егер шегі бар болса, онда шегі бар болады және мына теңдік орындалады: = . Осы сияқты тұжырымдар , , , , жағдайларда да орынды.

1-мысал. ;

2-мысал. Лопиталь ережесін бірнеше рет қолдануға да болады:

Лопиталь ережесін анықталмағандықтардың мына түрлеріне де қолдануға болады . Ол үшін оларды немесе түрлеріне келтіру керек.

1. Егер көбейтіндісінде ш. а., ал ш.ү. шамалар болса, онда оларды төменгідей түрлендіріп, немесе содан соң Лопиталь ережесін қолданады.

3-мысал. .

2. Екі ш.ү. функциялар айырмасы , яғни анықталмағандығы былай түрлендіріледі бұл өрнекке Лопиталь ережесі қолданылады.

4-мысал.

= .

Әдебиеттер: 1 нег.[238-254], 11 қос. [375-377], [385-390].

Бақылау сұрақтар:

1. Жоғары ретті туындының анықтамасын беріңіз.

2. Жоғары ретті дифференциалдың анықтамасын беріңіз.

3. Ролл теоремасы және оның геометриялық мағынасы.

4. Лагранж теоремасы және оның геометриялық мағынасы.

5. Лопиталь ережесі қандай анықталмағандықтарды есептеуге мүмкіндік береді?

№11-дәріс. Туындының көмегімен функцияларды зерттеу және графигін салу

функциясы аралығында берілсін. Егер кез келген үшін теңсіздігінен ( ) теңсіздігі шығатын болса, онда функциясы аралығында өседі (кемиді) дейді.

Теорема. Егер аралығында дифференциалданатын функциясының туындысы осы аралықта оң (теріс) болса, онда ол осы аралықта өседі (кемиді). Демек, өсу немесе кему интервалында функцияның туындысы таңбасын өзгертпейді.

1-мысал. функцияның өсу және кему аралықтарын табу керек. Ол үшін функция туындысының таңбасының тұрақтылық интервалдарын анықтаймыз . Бұл квадрат үшмүшеліктің түбірлері x₁=0, x₂=2. Сондықтан, егер аралығында , демек функциясы бұл аралықта кемиді. Ал аралықтарында f'(x)>0, демек бұл аралықтарда функция өседі.

Теорема (экстремумның қажетті шарты). Егер дифференциалданатын функциясының нүктесінде экстремумы бар болса, онда сол нүктеде болады. Осы теоремадан мынадай қорытындыға келеміз: егер нүктесінде функцияның экстремумы бар болса, онда ол нүктеде оның туындысы нөлге тең, не ол нүктеде туындысы болмауы мүмкін. Кері тұжырым әрқашан орындала бермейді. Мысалы, функциясының x₀=0 нүктесінде туындысы , ал бірақ ол нүктеде функция не максимум, не минимум қабылдамайды. функциясының туындысы нөлге айналатын немесе тіпті болмайтын нүктелерді күдікті нүктелер немесе «кризистік» нүктелер деп атайды. Функцияның экстремумын осы күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.

Теорема (экстремумнің жеткілікті шарты). Егер нүктесінде функциясының туындысы нөлге тең болса және нүктесінен өткенде таңбасын өзгертсе, онда нүктесі экстремум нүктесі болады: 1) егер таңба «плюс»-тен «минус»-ке өзгерсе, онда – максимум нүктесі; 2) егер таңба «минус»-тен «плюс»-ке өзгерсе, онда – минимум нүктесі болады.

2-мысал. функцияны экстремумге зерттеп, өсу және кему аралықтарын анықтау керек. Функция туындысы , осыдан , күдікті нүктесін табамыз. нүктесінде функцияның туындысы болмайды, сондықтан ол да күдікті нүкте. Интервалдар тәсілімен f '(x)-тің таңбаларын анықтаймыз. Функция барлық нүктелерде үзіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша максимум нүктесі, ал минимум нүктесі. (–, 0) және интервалдарда функция өседі, ал интервалда кемиді Зерттеу нәтижелерін таблицаға жазамыз:

x	(–,0)	0	(0, )		( , +)
f '(x)	+	Туындысы жоқ	–	0	+
f (x)		0 max		min

Функцияның екінші ретті туындысы қолданылатын экстремумның тағы бір шартын келтірейік.

Теорема. функциясының нүктесінде бірінші және екінші туындылары бар болсын. Егер нүктесінде функциясының бірінші туындысы нөлге тең, яғни болса, ал екінші туындысы нөлден ерекше, яғни болса, онда - экстремум нүктесі болады:

1) егер болса, онда – минимум нүктесі;

2) егер болса, онда – максимум нүктесі болады.

Функцияның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндері. Функция өзінің ең үлкен және ең кіші мәндерін экстремум нүктелерінде не кесіндісінің шеткі нүктелерінде қабылдауы мүмкін. Ең үлкен және ең кіші мәндерді табу үшін алдымен функцияның күдікті нүктелерін (не туынды нөлге тең, не туынды жоқ нүктелер) табу керек. Содан соң функцияның күдікті нүктелеріндегі және кесіндінің шеткі нүктелеріндегі мәндерін тауып, олардың ішінен ең үлкен және ең кіші мәндерді іздеу керек.

3-мысал. функциясының кесіндісіндегі ең үлкен жіне ең кіші мәндерін табу керек. Күдікті нүктелерді табамыз:

Осыдан - күдікті нүктелер. Енді функцияның күдікті нүктелердегі және шеткі нүктелердегі мәндерін табамыз: . Сонымен _{үлкен кіші} .

Функция графигінің дөңестігі, ойыстығы және иілу нүктелері

Анықтама. Егер интервалында дифференциалданатын қисығының барлық нүктелері сол қисыққа жүргізілген жанамадан жоғары орналасса, онда онда қисықты осы аралықта ойыс (дөңестігі төмен қараған) дейді, ал қисығының барлық нүктелері сол қисыққа жүргізілген жанамадан төмен орналасса, онда қисықты осы аралықта дөңес (дөңестігі жоғары қараған) дейді. Қисықтың ойыс және дөңес бөлігін бөліп тұратын нүктені иілу нүктесі деп атайды.

Теорема. функциясы интервалында екі рет дифференциалданатын болсын. Егер осы интервалдың әрбір нүктесінде 1) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда дөңес болады; 2) болса, онда функцияның графигі бұл интервалда ойыс болады

4-мысал. гиперболасы (0, +) интервалында ойыс болады, себебі , ал (–, 0) интервалында дөңес, себебі .

Теорема (иілу нүктесінің қажетті шарты). Егер нүктесі функциясының иілу нүктесі болса, онда бұл нүктеде функцияның екінші туындысы нөлге тең, яғни . Функцияның екінші туындысы нөлге айналатын немесе екінші туындысы болмайтын нүктелер екінші текті күдікті нүктелер деп аталады. Функцияның иілу нүктесін осы күдікті нүктелердің арасынан іздеу керек.

Теорема (иілу нүктенің жеткілікті шарты). Егер нүктесінен өткенде функцияның екінші туындысы таңбасын өзгертсе, онда нүктесі иілу нүктесі болады.

Функция графигінің асимптоталары

Анықтама. Егер қисықтың нүктесі шексіздікке ұмтылғанда нүктесінен түзуге дейінгі қашықтық нөлге ұмтылса, онда мұндай түзуді қисықтың асимптотасы дейді. Асиптоталар тік (вертикаль), көлбеу, горизонталь болып үш түрге бөлінеді.

Анықтама. Егер функциясының ұмтылғанда оң және сол жақты шектерінің біреуі шексіздікке тең болса, яғни немесе онда түзуі функцияның графигінің вертикаль асимптотасы деп аталады. Мысалы, функциясы үшін түзуі вертикаль асимптота болады.

Анықтама. Егер немесе болса, онда түзуі функциясының горизонталь асимптотасы деп аталады. Мысалы, функциясы үшін түзуі горизонталь асимптота болады.

Анықтама. және теңдіктері орындалатындай және сандары табылатын болса, онда түзуі функциясының көлбеу асимптотасы деп аталады.

Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасы (схемасы) және оның графигін салу

1. Функцияның анықталу облысын табу.

2. Функцияның графигінің координаттар өстерімен қиылысу нүктелерін табу және функцияның жұптығын анықтау.

3. Асимптоталарын табу. Функцияның ақырсыздықтағы жағдайын зерттеу.

4. Функцияның төңіректік экстремумын және монотондық интервалын табу.

5. Функцияның графигінің дөңестік интервалдарын және иілу нүктелерін табу.

6. Функцияның графигін сызу.

Бұл тақырыпқа есептер 2.3 пунктінде тәжірибе сабақта қарастырылады.

Әдебиеттер: 1 нег.[262-280], 11 қос. [404-421].

Бақылау сұрақтар:

1. Функцияның экстремум нүктелерінің анықтамасын келтіріңіз.

2. Функцияның экстремумын бірінші туынды арқылы табу.

3. Функцияның экстремумын екінші туынды арқылы табу

4. Иілу нүктесін табу.

5. Функцияның графигінің асимптотасын табу.

№12-дәріс. Анықталмаған интеграл. Алғашқы функция. Анықталмаған интеграл

Анықтама. Егер аралығында берілген функциясы үшін

теңдігі орындалса, онда функциясы функциясының аралығындағы алғашқы функциясы деп аталады. Басқаша айтқанда, берілген функцияның алғашқы функциясын табу – оның туындысын табуға кері есеп болып саналады.

кез келген тұрақты шама (константа), яғни кез келген сан болсын. Егер функциясының алғашқы функциясы болса, онда функциясы да оның алғашқы функциясы болады, себебі . функциясы функциясының барлық алғашқы функцияларын анықтайды.

Анықтама. Егер болса, онда функциясын функциясының анықталмаған интегралы дейді және ол символымен белгіленеді.

Сонымен, мұндағы интеграл белгісі, - айнымалысының дифференциалы, -интеграл астындағы өрнек. Берілген функцияның анықталмаған интегралын табу жолын осы функцияны интегралдау дейді.

Анықталмаған интегралдардың қасиеттері

1. 

2. 

3. , мүндағы кез келген сан.

4.

5. , мұндағы - кез келген сан.

Практикада интегралдау үшін келесі интегралдар кестесін жатқа білген жөн.

Анықталмаған интегралдардың негізгі кестесі

1. . 2. . 3. . Дербес жағдайда, . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. .

11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. . 19. .

Кестедегі кез келген интегралды тексеру үшін теңдіктің оң жағынан туынды алу керек. Интегралдаудың негізгі әдістері

1. Анықталмаған интегралда айнымалыларды алмастыру. Айнымалыны алмастыру әдісі мына формулаға негізделген

Мұндағы - берілген аралықта дифференциалданатын функция. Тиімді табылған айнымалыны алмастыру формуласы берілген интегралды жеңіл интегралдайтын интегралға, ал кейбір жағдайларда таблицалық интегралға келтіреді.

1- мысал. интегралын табу керек.

Ол үшін алмастыруын жасаймыз. Сонда болады.

= .

Мұнда интегралдаудың соңында бастапқы - айнымалысына көшу керек.

2. Дифференциал астына енгізу әдісі. Бұл әдіс айнымалыны ауыстыру сияқты жиі қолданылады. Интеграл астындағы функцияның көбейткіштерінің біреуін белгісінің астына жазамыз да, оны жаңа айнымалы ретінде қарастырамыз. Еске сала кетейік, функциясын таңбасының астына жазғанда таңбасынан кейін функцияның алғашқы функциясы жазылады, яғни .

Салдар. Айталық үзіліссіз және үзіліссіз дифференциалданатын функциялар болсын, онда

2-мысал. . Бұл формулада таңбасының астына функциясын енгізіп деп жаздық. Модуль таңбасын қолданбаса да болады, себебі интеграл астындағы функция тек болғанда анықталады. Дифференциал таңбасы астында кез келген функцияның алғашқы функциясына тұрақтыны қосып пайдалануға болады.

3- мысал. .

3. Бөліктеп интегралдау әдісі. Айталық, , -дифференциалданатын функциялар болсын. Онда теңдігі орындалады. Немесе . Осы теңдіктің екі жағынан интеграл алайық, сонда . Осыдан

формуласын аламыз. формуласын бөліктеп интегралдау формуласы дейді. Кейбір жағдайда бөліктеп интегралдау формуласын қолдану арқылы берілген интегралды алғашқыға қарағанда анағұрлым жеңіл алынатын интегралға келтіруге болады.

4- мысал.

5 - мысал. .

Әдебиеттер: 1 нег.[357-374], 11 қос. [458-467].

Бақылау сұрақтар:

1. Алғашқы функцияның анықтамасын беріңіз.

2. Анықталмаған интегралдың анықтамасын беріңіз.

3. Анықталмаған интерал кестесі.

4. Анықталмаған интегралда айнымалыны алмастыру.

5. Бөліктеп интегралдау формуласын жазыңыз.

№13-дәріс. Кейбір функцияларды интегралдау

Квадрат үшмүшелігі бар функцияларды интегралдау. Мына төмендегі интегралдарды табу әдісін қарастырайық және .

) квадрат үшмүшелігіндегі коэффициентін жақша алдына шығарып, одан толық квадратты бөліп аламыз;

) интегралға , алмастыруын енгіземіз;

) Оны екі интегралдың қосындысы етіп жазамыз. Сонда екі интегралымыз да кестелік интегралға келеді.

1- мысал.

.

Рационал функцияларды интегралдау. Рационал бөлшекті интегралдау деп, интегралын табуды айтады. Мұндағы дұрыс рационал бөлшек, яғни . Егер болса, дұрыс бөлшек деп, ал болса бұрыс бөлшек деп аталады. Бұрыс бөлшекті интегралдау үшін алдымен алымын бөліміне бөлу арқылы оны көпмүшелік пен дұрыс бөлшектің қосындысына жіктейміз. Мысалы, Одан әрі қарай тек дұрыс рационал бөлшектерді интегралдауды қарастырамыз.

Теорема. Әрбір дұрыс рационал бөлшекті мына қарапайым бөлшектердің қосындысы түрінде жазуға болады:

1. 2. 3. 4. , мұндағы А, В - нақты коэффициенттер; үшмүшелігінің нақты түбірлері жоқ (яғни ). Қарапайым бөлшектерді интегралдауды қарастырайық.

.

мәнінде .

интегралдау әдісі жоғарыда қарастырылған.

. , мұндағы және бөліміндегі квадрат үшмүшеліктің дискриминанты . Квадрат үшмүшеліктен толық квадрат бөліп алып , , алмастыруын жасаймыз. Сонда интегралын аламыз және оны екі интегралдардың қосындысы түрінде жазамыз. Бірінші интерал -ны дифференциал астына енгізу арқылы интегралданады:

.

Ал екінші интегралды деп белгілеп, төменгідей есептейміз:

Бұл формуланы реккуренттік формула деп атайды. Реккуренттік формула арқылы ні арқылы, ал ті арқылы таба отырып, ең соңында ны арқылы табамыз.

2- мысал. табу керек. осыдан . , . Сонымен бөлшегінде болсын. Әрбір көпмүшелігін бірінші және екінші дәрежелі көпмүшеліктердің көбейтіндісіне жіктеп жазуға болады: ,

мұндағы бүтін сандар. Сонда дұрыс бөлшек элементар бөлшектерге төменгідей жіктелінеді :

мұндағы нақты сандар. Осы сандарды табу үшін теңдігінің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз. Содан соң теңдіктегі екі бөлшектің бөлімін алып тастасақ, екі жағында да көпмүшелік шығады. Осы теңдіктен бірдей дәрежелі тің алдындағы коэффиценттерді теңестіре отырып, алгебралық теңдеулер жүйесін құрамыз. Алынған теңдеулер жүйесінен коэффиценттерінің мәндерін тауып, оларды теңдігіне қоямыз. Осылай рационал бөлшектің жіктеуін табамыз. Осы әдісті анықталмаған коэффициенттер әдісі дейді.

3-мысал. интегралын есептеу керек. Интеграл астындағы функция бұрыс рационал бөлшек, сондықтан алымын бөліміне бөліп дұрыс бөлшекке айналдырамыз: Соңғы қосылғышты қарапайым бөлшектерге жіктейміз:

Бұдан, : ; : ; : , , . Демек, . Сонымен,

Кейбір иррационал функцияларды интегралдау. Иррационал функцияларды интегралдауда айнымалыны алмастыру арқылы рационал функцияның интегралына келуге болатын кейбір жағдайларды қарастырамыз. түріндегі интегралдар алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келеді.

4- мысал. интегралын табайық. -тің дәрежесіндегі бөлшектердің ортақ бөлімі , олай болса берілген интегралды алу үшін ауыстыруын жасаймыз.

.

Қарастырылған интеграл түріндегі интегралдың дербес түрі

болады. Мұнда . Осы интегралды алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіруге болады.

Тригонометриялық функцияларды интегралдау. Бұл пунктте біз интегралын табуды қарастырамыз. Берілген интеграл әмбебап алмастыруы арқылы рационал функцияның интегралына келтіріледі. Шынында да

, , ,

, мұндағы - рационал функция.

5- мысал. .

Бұл әдісті көрсетілген кез келген интегралға қолдануға болады, ал немесе айнымалыларының дәрежесі бірден жоғары болса қолайсыз үлкен өрнектер шығады. Ондай жағдайларда келесі әдістерді қолдану керек.

. түріндегі интеграл.

а) бүтін оң тақ сан болса, интеграл түріне келтіріліп, алмастырылуы жасалынады.

б) бүтін оң тақ сан болса, интеграл түріне келтіріліп, алмастырылуы жасалынады.

6- мысал.

.

в) бүтін теріс емес жұп сан болса, формулалары арқылы пен тің реттері төмендетіледі.

. Мына , мұндағы m, n – тұрақты сандар, түріндегі интегралды алу үшін тригонометрияның формулаларын:

қолдану және көбейтінділерді қосындыға жіктеу арқылы берілген интегралды алу қиынға түспейді.

Әдебиеттер: 1 нег.[372-382], 11 қос. [467-478].

Бақылау сұрақтар:

1. Құрамында квадрат үшмүшелігі бар функцияны интегралдау.

2. Рационал функциялар қалай интегралданады?

3. Әмбабап алмастыру деп қандай алмастыруды айтамыз?

4. Иррационал функцияларды интегралдау.

№14- дәріс. Анықталған интеграл