4.8.2 Метод неопределенных коэффициентов построения характеристического полинома

Пусть .

Положим в этом соотношении последовательно  = 0,1,2,…, n–1. Тогда для коэффициентов p_i (i = 1..n) получаем систему линейных уравнений

Из первого уравнения сразу определяем коэффициент

p_n= D(0)=det(A).

Система уравнений для других коэффициентов принимает вид:

Порядок действий при работе с этим методом можно определить следующий:

1. находим определители вида D(k) = det(A–kE),

где k = 0,1,…, n–1;

2. составляем матрицу В вида

и находим ей обратную В^–1;

3. тогда решение имеет вид p = В^–1d, где

.

4.8.3 Итерационный способ одновременного нахождения собственных значений и собственных векторов

Нахождение собственных значений путем решения характеристического полинома можно назвать прямым способом. Существуют и итерационные способы, например, для положительно определенной симметрической матрицы, часто встречающейся в практических приложениях, известен итерационный способ одновременного нахождения собственных значений и собственных векторов.

Напомним свойства положительно определенной симметрической матрицы:

1. все собственные числа действительны и положительны;

2. собственные векторы образуют систему ортогональных полиномов, то есть

при j  k . (4.22)

Рассмотрим систему линейных уравнений (4.18). Для определения собственных векторов x⁽ⁱ⁾, соответствующих всему спектру собственных значений {_i}, имеем n систем уравнений:

Ах⁽¹⁾=₁х⁽¹⁾; Ах⁽²⁾=₂х⁽²⁾; …, Ах⁽ⁿ⁾=_nх⁽ⁿ⁾, (4.23)

каждая из которых представляет собой систему n нелинейных уравнений с n+1 неизвестным.

Преобразуем первую систему из этого списка (запишем справа налево и поделим на ₁):

Теперь воспользуемся тем обстоятельством, что при умножении (делении) собственного вектора на скаляр он остается собственным вектором той же матрицы, то есть он определяется с точностью до коэффициента пропорциональности. Отсюда практический вывод: собственный вектор можно нормировать, например, поделив на максимальный элемент. Таким образом, можно всегда положить одну из координат собственного вектора равной единице. Пусть х_n⁽¹⁾ = 1.

Для решения получившейся системы n нелинейных уравнений с n неизвестными можно использовать, например, метод простой итерации.

Итерационный процесс будет иметь вид:

Задаем начальные приближения и и с заданной степенью точности находим первое собственное значение ₁ и первый собственный вектор х⁽¹⁾.

Для нахождения второго собственного значения ₂ и второго собственного вектора х⁽²⁾ запишем вторую систему из списка (4.23):

(4.24)

и воспользуемся условием ортогональности (4.22), записав его для векторов х⁽¹⁾ и х⁽²⁾:

.

Выразим отсюда одно из неизвестных, например, :

и, подставляя его в (4.24), получаем

Полагая решаем эту систему методом простой итерации и получаем второе собственное значение ₂ и второй собственный вектор

.

Для нахождения третьего собственного значения ₃ и второго собственного вектора записываем два соотношения ортогональности:

, из которого выражаем , и

, из которого выражаем .

Добавляя условие нормализации , решаем третью систему уравнений из списка (4.23). И так далее.

Так как собственные векторы определяются с точностью до коэффициентов пропорциональности, то решение будет выглядеть следующим образом:

1			…
2			…
3			…
…	…	…	…	…	…
n			…

1 Так как условие ||B||<1 – достаточное условие сходимости, то практически можно поступить следующим образом. После преобразования программируем итерационную схему и проводим вычисление. Если процесс сходится – решение найдено, если нет – проводим другое преобразование.

1 Например, для квадратного уравнения ²+р₁+р₂=0, используя теорему Виета, получаем формулу Ньютона при k=1: S₁= ₁+₂ =-p₁ Далее, рассмотрим S₂=₁²+₂²= =(₁+₂)²-2₁₂ =(-p₁)(-p₁)-2p₂ . Заменяя –p₁=₁+₂ =S₁, получаем формулу Ньютона при k=2 : S₂+p₁S₁=-2p₂.

2 Англ. trace – след, или нем. Spur - след

126