1.3 Теорема Шеннона о пропускной способности канала

Шеннон показал, что пропускная способность канала С с аддитивным белым гауссовским шумом AWGN является функцией средней можности принятого сигнала S, средней мощности шума N и ширины полосы пропускания W.

(1.1)

Если W измеряется в герцах, а логарифм берется по основанию 2, то пропускная способность имеет размерность бит/с. Теоретически при использовании достаточно сложной системы кодирования информацию по каналу можно передавать с любой скоростью со сколь угодно малой вероятностью возникновения ошибки. Если же , то кода, на основе которого можно добиться сколь угодно малой вероятности возникновения ошибки, не существует. В работе Шеннона показано, что величины S,N,W устанавливают пределы скорости передачи, а не вероятности появления ошибки. Шеннон использовал уравнение (1) для графического представления доступных пределов производительности прикладных систем. Этот график, показанный на рисунке 1.2, представляет нормированную пропускную способность C/W в как функцию отношения сигнал/шум в канале, график, представленный на рисунке 3, изображает зависимость нормированной полосы пропускания канала W/C от отношения сигнал/шум канала.

Рисунок 1.2. Зависимость нормированной пропускной способности канала от SNR.

Рисунок 1.3. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от SNR.

Если учесть что спектральная плотность мощности шума ,

где - нормированная спектральная плотность мощности шума, а битовая скорость передачи равна пропускной способности канала ( и )то выражение (1.1) можно модифицировать следующим образом:

(1.2)

(1.3)

(1.4)

где - битовое отношение сигнал/шум для принятой информации

На рисунке 1.4 представлен график зависимости от , описываемой формулой (1.4).

Рисунок 1.4. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от

Существует нижнее предельное значение , при котором ни при какой скорости передачи нельзя осуществить безошибочную передачу информации. Это значение называется пределом Шеннона. Предел Шеннона – это кривая зависимости от при . При =-1,6 данная кривая скачкообразно меняет свое значение с =1/2 на =0. В действительности достичь предела Шеннона невозможно, т.к. k возрастает неограниченно, а с его ростом возрастают требования к полосе пропускания и повышается сложность реализации системы. Работа Шеннона – это теоретическое доказательство существования кодов, которые могут улучшить или снизить от уровней некодированных двоичных систем модуляции до уровней, приближающихся к предельной кривой.

Задача №1.1

Рассмотрим телефонный канал связи с полосой пропускания 3 кГц. Пусть данный канал можно смоделировать как канал AWGN.

1. Чему равна пропускная способность такой схемы, если SNR равно 30дБ?

2. Какое минимальное значение SNR требуется для получения скорости передачи данных 4800 бит/с.

3. Повторить расчеты п. Б для скорости передачи информации 19200 бит/с.

Решение

1. Перевод из логарифмических единиц в разы:

10 lg SNR=30 дб

lg SNR=

SNR=10 =10³⁼1000 раз

C=W log₂(1+ )

W=3000 Гц =1000

С=3000 log₂(1+1000)=29902 бит/с

=9,9672 бит/с/Гц

В правильности расчета можно убедиться по графику рисунка 1.2.

2. Log₂ (1+ )= =1,6

1+ =2^1,6=3,0314 =3,0314-1=2,0314 раз

10 lg =3,0738 дБ

3. Log₂(1+ )= =6,4; 1+ =84,4485=2^6,4

⁼84,4485-1=83,4485 раз; 10 lg (83,4485)=19,2142 дБ

Задача № 1.2

Рассмотрим передачу по телефонному каналу потока данных со скоростью 100 Кбит/с (при полосе пропускания 3 кГц). Можно ли получить безошибочную передачу при SNR, равном 10 дБ ? Ответ обоснуйте. Если это не возможно, предложите модификацию системы, которая бы это позволила.

Решение

Пропускная способность

безошибочную передачу получить нельзя. Чтобы получить безошибочную передачу, надо полосу системы увеличить в 10 раз.

Тогда

Что и требуется.