Построим статистический ряд распределения, образовав 5 групп с равными интервалами.
Величину интервала определим по формуле:
где xmax, xmin – максимальное и минимальное значения признака.
Образуем следующие 5 групп с равными интервалами
Таблица 2 - Распределение предприятий по себестоимости единицы продукции
Себестоимость единицы продукции, руб. |
Число предприятий |
430-670 |
1 |
670-910 |
9 |
910-1150 |
8 |
1150-1390 |
1 |
1390-1630 |
1 |
Итого |
20 |
Видим, что меньше всего предприятий, на которых себестоимость единицы продукции находится в пределах от 430 руб. до 670 руб., а также от 1150 руб. до 1630 руб. Больше всего предприятий, на которых себестоимость единицы продукции от 670 руб. до 910 руб.
Построим графики ряда распределения: гистограмму, полигон, кумуляту.
Рис. 1 Гистограмма распределения предприятий по себестоимости единицы продукции.
Рис. 2 Полигон распределения предприятий по себестоимости единицы продукции.
Для построения кумуляты необходимо посчитать число подразделений нарастающим итогом.
Таблица 3 - Расчет нарастающих (кумулятивных) частот
Себестоимость единицы продукции, руб. |
Число предприятий |
Нарастающие частоты |
430-670 |
1 |
1 |
670-910 |
9 |
10 |
910-1150 |
8 |
18 |
1150-1390 |
1 |
19 |
1390-1630 |
1 |
20 |
Итого |
20 |
- |
Рис. 3 Кумулята распределения предприятий.
2)
Структуру совокупности определяют, рассчитывая удельный вес каждой группы в общем итоге.
Представим структуру совокупности в таблице.
Таблица 4 – Структура совокупности
Себестоимость единицы продукции, руб. |
Число предприятий |
Уд.веспредприятий в общем итоге |
430-670 |
1 |
0,05 |
670-910 |
9 |
0,45 |
910-1150 |
8 |
0,4 |
1150-1390 |
1 |
0,05 |
1390-1630 |
1 |
0,05 |
Итого |
20 |
1 |
Видим, что наибольшую долю составляют предприятия, на которых себестоимость единицы продукции составляет от 670 руб. до 910 руб. Наименьшая доля предприятий, на которых себестоимость единицы продукции составляет от 430 руб. до 670 руб., а также от 1150 до 1390 руб., и от 1390 до 1630 руб.
3)
Среднее значение определяется по формуле средней арифметической взвешенной:
,
где x – значения признака;
f – частота повторения значений признака.
Если же ряд интервальный, то его нужно превратить в условно дискретный: в качестве группового значения xi для каждого интервала вычисляется его середина.
:
,
где, Xmin , X max– нижняя и верхняя граница i –го интервала в ряду распределения.
Размах вариации определяется как разность максимального и минимального значений совокупности:
R= X max -Xmin = 1630-430 = 1200 руб.
Среднее линейное отклонение определяется по формуле
Дисперсия
(
2)
определяется по формуле:
-Среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации определяется
При вычислении указанных показателей расчеты удобнее произвести в таблице
Таблица 5 – Вспомогательные расчеты
Себестоимость единицы продукции, руб. |
Число предприятий, ед. |
Центральное значение интервала (xi) |
|
|
|
|
|
|
Накопленные частоты, S |
430-670 |
1 |
550 |
550 |
384 |
384 |
147456 |
147456 |
1 |
670-910 |
9 |
790 |
7110 |
144 |
1296 |
20736 |
186624 |
9 |
910-1150 |
8 |
1030 |
8240 |
96 |
768 |
9216 |
73728 |
18 |
1150-1390 |
1 |
1270 |
1270 |
336 |
336 |
112896 |
112896 |
19 |
1390-1630 |
1 |
1510 |
1510 |
576 |
576 |
331776 |
331776 |
20 |
Итого |
20 |
- |
18680 |
|
3360 |
|
852480 |
- |
Определяем среднее значение
Среднее линейное отклонение
Дисперсия ( 2)
Среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации
Таким образом, среднее значение себестоимости единицы продукции составляет 934 руб., при этом значения по совокупности отличаются от среднего на 206,5 руб. Коэффициент вариации 22,1% (то есть <33,3%),значит совокупность предприятий однородна по признаку себестоимости единицы продукции.
Определим средний уровень ряда и дисперсию методом моментов.
Для расчета «методом моментов» из всех вариантов выбираем значение с наибольшей частотой. Это база сравнения.
Для дальнейших расчетов удобнее пользоваться таблицей.
Таблица 6 - Вспомогательные расчеты.
Себестоимость единицы продукции, руб. |
Число предприятий, ед. f |
xi-x0 |
|
|
|
|
|
Центральное значение интервала xi |
|||||
430-670 |
550 |
1 |
-240 |
-1 |
-1 |
1 |
670-910 |
790=x0 |
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
910-1150 |
1030 |
8 |
240 |
1 |
8 |
8 |
1150-1390 |
1270 |
1 |
480 |
2 |
2 |
4 |
1390-1630 |
1510 |
1 |
720 |
3 |
3 |
9 |
Итого |
- |
20 |
|
|
12 |
22 |
Для расчетов сначала определяем моменты 1 и 2 порядка.
-
момент 1 порядка
-
момент 2 порядка
Среднее значение определяется:
Рассчитываем дисперсию
Видим, что результаты расчетов, выполненных двумя способами, равны.
Мода (Мо) – значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой. Медиана (Ме) – значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.
Для определения медианы необходимо провести ранжирование (упорядочение по возрастанию).
№ п/п |
Номер предприятия |
Себестоимость единицы продукции, руб. |
1 |
12 |
430 |
2 |
20 |
700 |
3 |
9 |
730 |
4 |
17 |
770 |
5 |
22 |
780 |
6 |
21 |
810 |
7 |
13 |
830 |
8 |
19 |
860 |
9 |
24 |
860 |
10 |
11 |
905 |
11 |
14 |
920 |
12 |
6 |
925 |
13 |
23 |
930 |
14 |
10 |
974 |
15 |
18 |
990 |
16 |
8 |
1000 |
17 |
16 |
1000 |
18 |
15 |
1100 |
19 |
5 |
1150 |
20 |
7 |
1630 |
Видим, что центральными значениями являются значения себестоимости единицы продукции, равные 920 и 925 руб. (номера 10 и 11). Значит, медиана равна (920+925)/2=922,5 руб.
Медиана в интервальном ряду определяется по формуле:
,
где ХMe – нижняя граница медианного интервала;
iMe–величина медианного интервала;
f – сумма всех частот (частостей) ряда распределения ;
SMе–1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;
fMe - частота медианного интервала.
Медианный интервал – это интервал, в котором накопленная частота больше полусуммы всех частот.
Определим медианный интервал. По таблице 5 видим. Что медианный интервал от 910 до 1150 руб., так как полусумма всех частот, равная 10, находится в этом интервале.
Рассчитываем медиану:
Мода в интервальном ряду определяется по формуле:
,
где ХMo – нижнее значение модального интервала;
fMo– частота модального интервала;
fMo–1 –частота интервала, предшествующего модальному;
fMo+1– частота интервала, следующего за модальным;
i– величина модального интервала.
Модальный интервал от 670 до 910 руб., так как частота этого интервала f=9 – наибольшая.
Рассчитаем моду:
Таким образом, наиболее часто встречаются предприятия, на которых себестоимость единицы продукции равна 883 руб., при этом половина предприятий имеет значения этого показателя меньше 940 руб., половина больше.
4)
Предельная ошибка выборки средней величины на одно предприятие определяется
|
N – генеральная совокупность;
n – выборочная совокупность
-
дисперсия признака совокупности;
t - коэффициент доверия, зависящий от того, с какой вероятностью определяется предельная ошибка. Он определяется по таблице интеграла вероятностей.
при вероятности Р=0,964 t=2,1
Так как выборка 5%-ая
N = n/0,05 = 20/0,05 = 400 предприятий
Границы, в которых будет находиться генеральная средняя, определяются следующим образом:
,
где
-
выборочная средняя;
-
генеральная средняя;
-
предельная ошибка выборочной средней.
Границы средней себестоимости единицы продукции определяются
Таким образом, средняя себестоимости единицы продукции по всей совокупности предприятий находится в пределах от 839,5 руб. до 1028,5 руб.
5)
Возможная граница доли единиц, находящихся в последней 5-ой группе интервального ряда распределения, определяется:
,
где
-
предельная ошибка выборочной доли
При Р=0,997 t=3
Выборочная доля - это удельный вес единиц с определенным признаком (m) в выборке (n):
В последней 5-ой группе находится 1 подразделение.
W= 1/20 = 0,05
Возможная граница доли единиц с наименьшим значением факторного признака во всей совокупности единиц равна
То есть, доля предприятий с себестоимостью единицы продукции от 1390 руб. до 1630 руб. во всей совокупности предприятий будет составлять до 19%.
Задача 2. Имеется информация о среднедушевых доходах на душу населения по РФ за 2010 год, р,/чел.:
Год |
Среднедушевой доход на душу населения, руб./чел. |
|
|
6 |
|
2006 |
8628 |
2007 |
10734 |
2008 |
13886 |
2009 |
15435 |
2010 |
17128 |
Для анализа динамики изучаемого показателя выполните задания
1) Определите
а) в соответствии с классификацией – вид ряда динамики;
б) средний уровень ряда;
в) цепные и базисные показатели по среднедушевому доходу: абсолютные приросты, темпы (коэффициенты) роста и прироста;
г) абсолютное значение 1% прироста.
2) Определите средние показатели абсолютного прироста, темпов (коэффициентов) роста и прироста.
Результаты вычислений представьте в табличной форме (см. макет таблицы):
Аналитические показатели среднедушевых доходов населения РФ
Год |
Среднедушевые доходы |
Абсолютный прирост, руб/чел. |
Темп роста, % |
Темп прироста, % |
Абсолютное значение 1% прироста, руб./чел. |
||||||
руб./чел. |
цепной |
базисный |
цепной |
базисный |
цепной |
базисный |
|
||||
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сделайте анализ полученных результатов.
3) а) определите линейную форму тренда среднедушевых доходов населения;
б) построить график динамики среднедушевых доходов населения за изучаемый период по фактическим и теоретическим данным;
в) спрогнозируйте среднедушевые доходы населения на 2013 год, используя методы:
1) среднего абсолютного прироста;
2) среднего тема роста;
3) аналитического выравнивания.
Сделайте анализ полученных результатов