Глава 4. Комбинаторика

4.3. Введение в теорию вероятностей

4.3.4. Случайные величины

Случайной величиной называется числовая переменная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определёнными вероятностями. Число попаданий в цель при данном числе выстрелов, скорость молекулы газа являются типичными примерами случайных величин.

	Для задания случайной величины нужно знать множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Все эти данные образуют закон распределения случайной величины или распределение вероятности.

Будем называть две случайные величины x и y взаимно независимыми, если события x = x_i и y = y_j являются взаимно независимыми.

Пример 1

Найти закон распределения числа очков, которые выбивает стрелок на мишени, если вероятность его попадания в область 1 равна 0, вероятность попадания в область 2 равна 0,2, а в область 3 – 0,8.

Решение

Закон распределения можно представить в виде следующей таблицы: 1 2 3 0 0,2 0,8

Пример 2

Пусть в мишень стреляют два стрелка. При этом закон распределения числа выбиваемых на мишени очков для первого стрелка задан таблицей:

1	2	3
0	0,2	0,8

Аналогичный закон распределения для второго стрелка задан таблицей:

1	2	3
0,2	0,5	0,3

Найдём закон распределения суммы очков, выбиваемых обоими стрелками.

Составим таблицу – закон распределения случайной величины x  +  y, где x – количество очков, выбиваемых первым стрелком, а y – количество очков, выбиваемых вторым стрелком.

№ x y x  +  y Вероятность результата 1 1 1 2 0 ∙ 0,2 = 0 2 1 2 3 0 ∙ 0,5 = 0 3 1 3 4 0 ∙ 0,3 = 0 4 2 1 3 0,2 ∙ 0,2 = 0,04 5 2 2 4 0,2 ∙ 0,5 = 0,1 6 2 3 5 0,2 ∙ 0,3 = 0,06 7 3 1 4 0,8 ∙ 0,2 = 0,16 8 3 2 5 0,8 ∙ 0,5 = 0,4 9 3 3 6 0,8 ∙ 0,3 = 0,24

Значит, искомое распределение вероятностей задаётся таблицей

2	3	4	5	6
0	0,04	0,1 + 0,16 = 0,26	0,06 + 0,4 = 0,46	0,24