Тема 2. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії.

Завдання №4.

1. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах та .

2. Обчисліть мішаний добуток трьох векторів , та .

3. Обчисліть об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , та .

4. Знайдіть координати векторного добутку двох векторів та та площу трикутника, побудованого на цих векторах.

5. Перевірте чи є колінеарними вектори і , якщо , . .

6. Для векторів і обчисліть скалярний добуток, кут між ними та проекцію на .

7. Знайдіть координати векторного добутку двох векторів та та площу трикутника, побудованого на цих векторах.

8. Перевірте чи є колінеарними вектори і , якщо , .

9. Знайдіть довжину та напрямні косинуси вектора , якщо , .

10. Задано трикутник із вершинами A(1; -2), B(5; 4;) і С(-2; 0). Складіть рівняння медіани СМ даного трикутника.

11. Задано трикутник із вершинами A(1; -2), B(5; 4;) і С(-2; 0). Складіть рівняння висоти BN даного трикутника.

12. Знайти об’єм піраміди побудованої на точках А(-2;3;-2), В(-3;3;2), С(4;5;-1), D(0;5;0).

13. Задано трикутник із вершинами A(1; -2), B(5; 4;) і С(-2; 0). Складіть рівняння бісектриси AP даного трикутника.

14. Знайдіть точку симетричну точці P(-2; -1) відносно прямої, заданої рівнянням x+2y-16=0.

15. Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, яка проходить через точки А(1;-3) та В(5; 4).

16. Дано три вектори . Знайти проекцію вектора на вектор .

17. Обчислити синус кута, утвореного векторами

18. Запишіть рівняння прямої, що паралельна до осі ординат і проходить через точку перетину прямих 5х+3у-12=0 та -3х+2у-10=0.

19. Яка з прямих 2х-5у+13=0 чи у=-2х+5 відтинає від осі абсцис більший відрізок?

20. Запишіть нормоване рівняння прямої, яка проходить через точку А(-2; 3), паралельно до прямої 5х+7у=0.

21. Знайдіть точку, симетричну точці А(3; -2) відносно прямої 4х-2у-13=0.

22. Дано вектори , . Обчислити довжину вектора .

23. Чи вектори , , лінійно залежні?

24. Дано трикутник з вершинами , , . Обчислити довжину бісектриси кута .

25. Обчислити площу трикутника, заданого вершинами А(4;2;3), В(5;1;2), С(6;5;8).

26. Дано протилежні вершини квадрата , . Знайти дві інші вершини.

27. При якому вектори , ортогональні?

28. Чи вектори , , компланарні?

29. Дано три послідовні вершини паралелограма , , . Знайти четверту вершину .

30. Знайдіть довжину і напрямні косинуси вектора , якщо , .

31. Дано вектори , . Знайти кут між векторами і .

32. Знайти об’єм піраміди побудованої на точках А(-1;1;-1), В(-1;3;0), С(6;2;4), D(3;-1;4).

33. Нехай точки А(2;-1;2), В(2;5;0), С(-3;2;1) і D(-4;-4;3) – вершини чотирикутника. Показати, що його діагоналі АС і ВD перпендикулярні.

34. Дано три вектори . Знайти проекцію вектора на вектор .

35. Обчислити синус кута, утвореного векторами

Завдання №5.

1. Складіть рівняння площини, що проходить через точки M1(1; -2; 2) і M2 (2; 0; 1) паралельно вектору .

2. Запишіть рівняння площини, що проходить через точки А(2; 3; 4) і В(1; 3; 5) перпендикулярно до площини 3х+2у-z-12=0.

3. Обчисліть відстань від початку координат до площини 10x-10y+5z-150=0. Знайдіть напрямні косинуси вектора нормалі цієї площини.

4. Показати, що прямі і є паралельними

5. Точка А(2; -5; 3) – основа перпендикуляра, проведеного з початку координат на деяку площину. Запишіть рівняння цієї площини.

6. З точки М(3; -2; 1) опущено перпендикуляри на координатні площини. Запишіть нормоване рівняння площини через основи цих перпендикулярів.

7. Знайдіть кут між площиною х-3у+2z-13=0 та вектором .

8. Запишіть рівняння площини, що проходить через лінію перетину площин х-3у+2z-2=0 і 2х+у-4z+5=0 та паралельна до осі Оу.

9. Знайдіть проекцію точки M(1; -1; -2) на пряму

10. Складіть рівняння площини, яка проходить через точку N(3; 5; -2) паралельно площині 5x-3y+2z-6=0.

11. Складіть рівняння площини, яка проходить через точку M(3; 4; -5) паралельно векторам і .

12. Визначити кут між заданими площинами: x-2y+2z+1=0, 3x+3y-3z-4=0.

13. Складіть параметричне рівняння прямої

14. Складіть рівняння площини, що проходить через три точки M₁(1; -1; 2), M₂(2; 1; 2),

M₃(1; 1; 4). Визначте координати та напрямні косинуси нормального вектора цієї площини.

15. Складіть канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку A(1; -2; 5) паралельно прямій

16. Запишіть рівняння площини, яка проходить через точки A(1; 4;-5) i B(4; 2; -3) перпендикулярно до площини 3x+5y-6z-8=0.

17. Звести до нормального виду рівняння заданої площини та Знайдіть відстань від початку координат до цієї площини 3x+5y-4z+10=0.

18. Скласти рівняння площини, що проходить через точку А перпендикулярно до вектора , якщо А(3;-1;2) і В(4;-2;-1).

19. Запишіть параметричне рівняння прямої, що проходить через точку М(2; 2; 1) паралельно до прямої

20. Дано точки M₁(1; 1; 1), M₂(2; 3; 3) і M₃(3; 3; 2). Складіть рівняння площини, яка проходить через точку М₁ перпендикулярно до векторів і .

21. Напишіть рівняння площини, яка проходить через точку M(-1; -1; 2) перпендикулярно до двох площин x-2y+z-4=0 і x+2y-2z+4=0.

22. Показати, що пряма перпендикулярна до прямої

23. Складіть канонічне рівняння прямої, яка проходить через точку A(3; -1; 8) перпендикулярно до площини 2x-2y+z-6=0.

24. Дано вершини трикутника А(7; 4;3), В(-5; -2; 1), С(3; 2; -1). Запишіть канонічне рівняння медіани трикутника, проведеної з точки В.

25. Знайдіть координати точки, симетричної точці М(1; 2; 1) відносно площини х+у-z-5=0.

26. Знайдіть координати точки, симетричної точці М(-1; -1; 1) відносно прямої

27. Обчисліть відстань від точки M(2; 3; -1) до прямої

28. Складіть рівняння площини, що проходить через три точки M₁(-1;2;0), M₂(3;-1;-2),

M₃(0;-1;2). Визначте координати та напрямні косинуси нормального вектора цієї площини.

29. Запишіть рівняння перпендикуляра, що проведений з точки М(2; 3; 4) на пряму

30. Знайдіть проекцію точки А(2; -3; 2) на пряму

31. Запишіть рівняння прямої, яка проходить через точку М(1; -2; 3) і перпендикулярна до векторів , .

32. Запишіть рівняння площини, яка проходить через точки М(2; 4; -1) і N(1; 3; 2) та паралельна до прямої

33. Складіть рівняння площини, що проходить через точки M₁(1; -2; 3) і M₂(2; 0; 1) паралельно вектору .

34. Знайдіть кут між площинами, що проходять через точку М(-1; 1; -1), якщо одна з цих площин паралельна до площини , а друга проходить через вісь Ох.

35. Знайдіть кут між прямими і

Завдання №6.

1. Запишіть канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщено на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо її ексцентриситет е=3/2.

2. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу симетрично відносно початку координат, якщо відстань між її вершинами дорівнює 12, а відстань між фокусами 18.

3. Складіть рівняння параболи, якщо її фокус F(-5; 0) і рівняння директриси х-5=0.

4. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо велика піввісь дорівнює 13, а відстань між фокусами – 10.

5. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо ексцентриситет е=3/5.

6. Складіть канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між його фокусами дорівнює 8, мала піввісь дорівнює 5 .

7. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу симетрично відносно початку координат, якщо відстань між її вершинами дорівнює 20, а відстань між фокусами 24.

8. Запишіть рівняння параболи, вершина якої лежить у початку координат, якщо точка М(6;3) належить цій параболі.

9. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу симетрично відносно початку координат, якщо дійсна піввісь дорівнює 5, а ексцентриситет 7/5.

10. Фокуси гіперболи збігаються з фокусами еліпса Складіть канонічне рівняння цієї гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2.

11. Запишіть рівняння параболи, вершина якої лежить у початку координат, якщо точка М(7;14) належить цій параболі.

12. Складіть рівняння параболи з вершиною в початку координат, знаючи, що координати її фокуса F(0; 1/2).

13. Запишіть канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщено на осі ординат симетрично відносно початку координат, якщо її ексцентриситет е=3/2, а відстань між директрисами дорівнює 8/3.

14. Складіть рівняння параболи, якщо її фокус F(-7; 0) і рівняння директриси х-7=0.

15. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо велика піввісь дорівнює 15, а відстань між фокусами – 10.

16. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо мала піввісь дорівнює 3, а ексцентриситет е=3/5.

17. Складіть канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між його фокусами дорівнює 6 і ексцентриситет – 0,6.

18. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу симетрично відносно початку координат, якщо відстань між її вершинами дорівнює 18, а відстань між фокусами 22.

19. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу симетрично відносно початку координат, якщо дійсна піввісь дорівнює 5, а ексцентриситет 9/5.

20. Фокуси гіперболи збігаються з фокусами еліпса Складіть канонічне рівняння цієї гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2.

21. Запишіть рівняння параболи, вершина якої лежить у початку координат, якщо точка М(8;16) належить цій параболі.

22. Складіть рівняння параболи з вершиною в початку координат, знаючи, що координати її фокуса F(0; 1/3).

23. Запишіть канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщено на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо її ексцентриситет е=5/2, а відстань між директрисами дорівнює 8/3.

24. Складіть рівняння параболи, якщо її фокус F(-9; 0) і рівняння директриси х-9=0.

25. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо велика піввісь дорівнює 19, а відстань між фокусами – 15.

26. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо мала піввісь дорівнює 4, а ексцентриситет е=4/7.

27. Складіть канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між його фокусами дорівнює 10 і ексцентриситет – 3/5.

28. Складіть рівняння параболи з вершиною в початку координат, знаючи, що координати її фокуса F(0; 4/5).

29. Складіть канонічне рівняння еліпса, якщо відстань між його фокусами дорівнює 8, а сума осей дорівнює 16.

30. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу симетрично відносно початку координат, якщо відстань між її вершинами дорівнює 22, а відстань між фокусами 26.

31. Складіть рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі Оу симетрично відносно початку координат, якщо дійсна піввісь дорівнює 4, а ексцентриситет 7/4.

32. Фокуси гіперболи збігаються з фокусами еліпса Складіть канонічне рівняння цієї гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2.

33. Запишіть рівняння параболи, вершина якої лежить у початку координат, якщо точка М(9;18) належить цій параболі.

34. Складіть рівняння параболи з вершиною в початку координат, знаючи, що координати її фокуса F(0; 2/5).

35. Запишіть рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі абсцис симетрично відносно початку координат, якщо велика піввісь дорівнює 17, а відстань між фокусами – 10.