1.2.3 Решение систем линейных алгебраических уравнений методом исключения неизвестных (метод Гаусса).

 Под элементарными преобразованиями матриц понимаются следующие операции:

• Перестановка строк (столбцов);

• Умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

• Прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

 Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными: .

Для решения систем линейных алгебраических уравнений применяется также метод исключения неизвестных, называемый методом Гаусса. Основная идея этого метода состоит в том, что матрица системы, расширенная столбцом свободных членов, элементарными преобразованиями преобразуется к верхнетреугольному виду. Например,

,

здесь столбец — столбец свободных членов системы.

В этом состоит прямой ход метода Гаусса. После его выполнения для отыскания неизвестных осуществляется обратный ход. Последняя строка преобразованной матрицы соответствует уравнению:

.

Предыдущее уравнение имеет вид:

.

Подставляя найденное значение x₄ в последнее уравнение, находим из него x₃. Следующее уравнение уже содержит только одну неизвестную x₂ и последнее уравнение только неизвестную x₁. Таким образом, совершая «обратный ход» метода Гаусса находятся все неизвестные системы уравнений.

 Решить систему линейных уравнений:

Прямой ход метода Гаусса завершен. Выполните обратный ход.

1.2.4 Однородная система

A =

Пусть r (A) = k.

Тогда k уравнений системы являются самостоятельными, остальные уравнения являются следствием остальных.

так как r (A) = k. , то определитель

Принимая правую часть системы за свободные члены, решим систему методом Крамера или методом Гаусса. Переменные могут принимать произвольные значения, а переменные будут выражаться через . Система имеет бесчисленное множество решений.

Если же дана неоднородная система

где

то система имеет бесчисленное множество решений и эти решения находятся таким же способом , что и у однородной системы.

Задание: Решить систему

1.

2.

2. Комплексные числа

2.1 Комплексные числа, их геометрическое толкование. Модуль и аргумент комплексного числа.

 Выражение вида z=x+iy называется комплексным числом в алгебраической форме. Здесь , x=Re z — действительная (вещественная) часть, а y=Im z — мнимая часть комплексного числа z. Точки, соответствующие действительным числам z=x, расположены на оси OX, а точки, соответствующие мнимым числам z=iy — на оси OY, которую называют мнимой осью комплексной плоскости.

 Изобразим на комплексной плоскости числа , , ,

 Число называется модулем комплексного числа . Угол , образованный отрезком r (OM) с положительным направлением оси OX называется аргументом комплексного числа z и обозначается . Из треугольника OMA: , , (8)

причем главное значение аргумента =argz удовлетворяет следующим условиям: или . Для определенности будем полагать .

Комплексное число называется сопряженным числу .

 Найти модуль и аргумент для комплексных чисел, а также записать сопряженное.