Аксиомы теории вероятностей

1. Вероятность случайного события есть неотрицательное число (неотрицательность Р).

Р(А)0.

2. Вероятность достоверного события равна 1 (нормированность Р).

Р() = 1.

Из 1 и 2 аксиом нетрудно вывести следствие, что вероятность есть неотрицательное число, заключенное между нулём и единицей

0≤Р(А)≤1

Статистический способ определения вероятности основан на наблюдаемом факте устойчивости частоты при проведении достаточно большого числа испытаний. Если число испытаний достаточно велико, то можно приблизительно считать, что

где:	Р(А)	–	вероятность наступления события А;
		–	частота появления события А;
	nА	–	число испытаний, в которых наступило событие А;
	n	–	число проведенных испытаний.

Приближённое равенство Р(А) будет тем точнее, чем будет больше число испытаний n.

Легко проверить, что данный способ определения вероятности удовлетворяет всем трём аксиомам.

Таким образом, при статистическом способе, определение вероятности можно сформулировать следующим образом: вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируется частота этого события.

Статистический способ определения вероятности имеет то преимущество, что он опирается на реальный эксперимент, однако и он имеет существенный недостаток – для надёжного определения вероятности необходимо проделать большое число опытов, что не всегда возможно или целесообразно.

В условиях, когда нет необходимости (или возможности) определить вероятность наступления события путём проведения многочисленных опытов, представляется возможным (при определенных условиях) определить численную меру возможности наступления данного события. Такой способ определения вероятности является классическим.

В условиях, когда опыт сводится к «схеме случаев» а его исходы составляют полную группу несовместных равновозможных событий, вероятность наступления события можно определить как:

где:	Р(А)	–	вероятность наступления события А;
	m	–	число случаев, благоприятствующих появлению события А;
	n	–	число всех равновозможных случаев, образующих полную группу событий.

Легко проверить, что данный способ определения вероятности так же удовлетворяет всем трём аксиомам.

Таким образом, при классическом способе определение вероятности можно сформулировать следующим образом: вероятность события равна отношению числа случаев благоприятствующих появлению данного события, к общему числу равновозможных случаев.

Классический способ определения вероятности имеет то преимущество, что вероятность наступления события может быть определена без проведения опыта, однако и он имеет существенный недостаток: возможность его использования только в том случае, когда какой-либо опыт обладает свойством «симметрии» (обладает симметрией возможных исходов) и сводится к «схеме случаев».

Пример: в коробке лежат 4 лампочки, из них две неисправны «н», а другие две - неисправны «и». Какова вероятность того, что одновременно будут взяты две лампочки: а) обе неисправны, б) исправна и неисправна?

Решение:

Каждый исход получается последовательным выполнением двух действий: одновременным выбором одной и другой лампочек. Пространство исходов опыта (элементарных событий) в данной задаче давайте представим простым перечислением исходов . Таким образом, общее количество исходов будет равно 4 (n=4).

Событие А={одновременное взятие двух неисправных лампочек} однозначно представляется подмножеством одного исхода ( ).

Таким образом, вероятность наступления события А равна:

.

Событие В={одновременное взятие двух лампочек - одной исправной, а другой неисправной} представляется подмножеством двух исходов ( ).

Таким образом, вероятность наступления события В равна

.

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа опытов в аналогичных условиях в среднем при одновременном взятии двух лампочек в половине случаев из 100 будут взяты одна исправная и одна неисправная лампочки и в 25 случаев из 100 – только неисправные лампочки.

Заключение по лекции:

В лекции мы рассмотрели принципиальные вопросы теории вероятностей применительно к случайным событиям, ввели основной понятийный аппарат, необходимый для дальнейшего изучения дисциплины: определение события, их классификацию; понятия частоты и вероятности события, а так же способов определения вероятности.

В ходе подготовки к практическому занятию вы должны самостоятельно при углубленном изучении рекомендованной литературы и решения предложенных задач дополнить свои конспекты лекций.

Изучить:

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с. стр. 11-17, 23-32, 37-40.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с. – стр. 3-35

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с. – стр.11-17.