4.2. Особенности выбора функций регрессий

(прочитать самостоятельно)

В предыдущем параграфе мы предположили, что вид нелинейной функции, связывающей переменные x и y, нам известен и решали проблему нахождения неизвестных параметров, принимающих участие в описании функциональной зависимости. Как же на практике подбирать функцию, которая задает зависимость y от x? На подобный вопрос мы уже отвечали. Например, вид функции может подсказать характер расположения фактических значений переменных (x_i, y_i) на корреляционном поле. Если зависимость линейная, то решение задачи однозначно, а если нелинейная, то очень трудно определиться с выбором, какая же конкретно функция связывает переменные. Так, например, в [17] показано, что в задаче аппроксимации спроса на товар, в зависимости от дохода, может быть использована и параболическая, и гиперболическая функции. В этом случае предлагают использовать несколько различных функций, а затем выбрать ту из них, которая наиболее адекватно оценивает имеющиеся в нашем расположении данные.

Критериями адекватности могут выступать статистические показатели, которые мы рассматривали в предыдущей главе. Однако следует иметь в виду следующее. Пусть, например, в качестве аппроксимирующей функции выбраны две функции: линейная функция и функция вида (4.1.3): . Для линейной функции мы находим неизвестные коэффициенты в₀, в₁ , вычисляем выборочные коэффициенты корреляции , детерминации , строим доверительные интервалы. Функцию (4.1.3) сначала линеаризуем и приводим к виду (4.1.8). Для уравнения (4.1.8) находим оценки коэффициентов , вычисляем коэффициент детерминации и все остальные статистические характеристики. Для дальнейшего анализа воспользуемся числовыми данными, приведенными в [8]. Пусть =0, 985, а =0,992, в свою очередь =385,2 для первого случая и =0,02 для линеаризованной модели. Можем ли мы сравнить эти результаты? Нет, так как является мерой доли дисперсии объясненной переменной y, а - переменной . Разница в величине и также объяснима: значения y существенно больше, чем значения переменной ln y.

Для однозначного выбора искомой функции из множества возможных рекомендуют использовать, например тесты Бокcа-Кокса, тесты Зарембки. Тест Зарембки позволяет производить сравнение и за счет преобразования масштаба. Для того чтобы преобразовать масштаб необходимо проделать следующие шаги [8]:

● Вычислить

.

●Произвести пересчет значений каждого y_i по формуле:

●Решить задачу оценивания коэффициентов линейной регрессии, где, вместо зависимой переменной берется переменная и нелинейной, где в качестве зависимой переменной выбирается .

●Сравнить величину для обеих «звездных» моделей и предпочесть ту из них, для которой сравниваемое значения меньше.

Пример 4.2.1. Вернемся к примеру (4.1.1) и воспользуемся результатами оценивания параметров функций (4.1.12) и (4.1.13) при помощи функции «ЛИНЕИН», выделив в каждой таблице следующие значения:

=0,918	=1,43
=0,998	=0,05

Как уже отмечалось, сравнивать значения и нельзя, поэтому воспользуемся алгоритмом преобразования масштаба, описанным выше. Для этого вычислим , он будет равен:

.

Пересчитаем и (Таблица 13.):

Таблица 13.

0,360	-1,021
0.499	-0,695
0,582	-0,541
1,386	0,326
1,913	0,649
3,604	1,282

Используя новые значения зависимых переменных, найдем оценки коэффициентов следующих функций регрессии:

, (4.2.1)

. (4.2.2)

Последняя функция получена после линеаризации модели нелинейной регрессии вида:

;

.

Результат использования функции «ЛИНЕЙН» для оценивания параметров приведенных выше линейных функций регрессий представлен в таблицах 14 и 15 соответственно. Для регрессии (4.2.1):

Таблица 14.

0,339	-0,102
0,051	0,276
=0,918	=0,396
45,048	4
7,054	0,626

Для регрессии (4.2.2):

Таблица 15.

0,255	-1,126
0,006	0,032
=0,999	=0,046
45,047	4
3,979	0,008

Теперь допустимо провести сравнение стандартных ошибок =0,396 и =0,046. Величина стандартной ошибки существенно меньше , поэтому выбор модели (4.1.2) для описания зависимости y от x предпочтительней. К такому же результату мы пришли в примере 4.1.1.