2.2.Растяжение и сжатие

2.2.1. Напряжения и деформация. Рассмотрим данные понятия на примере растяжения призматического стержня (рис.2.5), который растягивается двумя приложенными на концах силами F, вызывающими равномерное растяжение стержня. Мысленно проведем в произвольном месте сечение плоскостью mm, перпендикулярной его оси и рассмотрим равновесие отсеченной правой части. К правому концу его будет приложена сила F, а к левому - силы, с которыми левая часть стержня действует на правую. Эти силы называются внутренними.

Предполагая, что эти силы распределяются по всей площади сечения равномерно, можно найти интенсивность этих сил, которая названа напряжением и называется греческой буквой  (сигма):

(2.1)

где А - площадь поперечного сечения стержня.

Напряжения имеют размерность силы, деленной на площадь. В системе СИ для измерения напряжений служит ньютон на квадратный метр, названный Паскалем - Па (Па=Н/м²). Так как эта единица мала, в практических расчетах применяется мегапаскаль ( 1 Мпа = 10⁶ Па = =1 Н/мм²). Из других единиц чаще всего используется килограмм - сила на квадратный сантиметр (кгс/см²). Соотношения между этими единицами : 1 МПа  10 кгс/см².

Если стержень, как показано на рисунке, растягивается, то возникающие напряжения называются растягивающими, если силы имеют противоположное направление - то сжимающими.

Увеличение длины стержня, нагруженного осевой силой, обозначим L. Отношение полного удлинения к первоначальной длине стержня называется относительным удлинением или относительной деформацией:

(2.2)

Относительная деформация является безразмерной величиной, при растяжении стержня возникает деформация растяжения, а при сжатии - деформация сжатия, при которой соседние поперечные сечения сжимаются.

2.2.2. Напряжения в точке. Формула (2.1) справедлива для случая, если напряжение распределяется по всему сечению равномерно. Это условие будет реализовано, если осевая сила F будет приложена к центру тяжести поперечного сечения. При произвольной нагрузке внутренние усилия распределяются по сечению неравномерно и не перпендикулярны плоскости сечения. Выделим в сечении элемента бесконечно малую площадку площадью dA, на которую действует внутреннее усилие dR (рис.2.6). Разложим эту силу на две составляющие - dN - осевую силу , которая направлена перпендикулярно плоскости сечения, и dQ - поперечную силу, которая параллельна

плоскости сечения. Тогда напряжения в данной точке найдутся по формулам:

(2.3)

нормальное напряжение,

(2.4)

(тау) касательное напряжение.

Чтобы избежать разрушения элементов сооружений и машин возникающие в них напряжения не должны превышать допускаемых напряжений, то есть максимальных значений напряжений, обеспечивающих безопасную работу материала. Допускаемые напряжения [] и [] зависят от предельных напряжений _пред и _пред, при которых исчерпывается прочность материала, и коэффициента запаса - n, показывающего во сколько раз допускаемое напряжение должно быть меньше предельного:

, (2.5)

Значения коэффициентов запаса зависят от условий эксплуатации элементов, из которых они изготовлены.

2.2.3. Механические испытания и свойства материалов. Свойства материалов, из которых изготавливаются элементы конструкций, можно определить из испытания образцов, изготовленных из этих материалов, на растяжение. Стандартные образцы имеют цилиндрическую форму. Концы образцов закрепляются в специальной разрывной машине. При растяжении образца фиксируется сила F, которой он растягивается, и его удлинение L, затем вычисляются напряжение  и относительная деформация  по формулам (2.1) и (2.2), а затем строится диаграмма зависимости напряжения от деформаций. Типичный вид диаграммы для конструкционной стали показан на рис.2.7,а. На диаграмме выделены характерные точки - F,B,C,D и Е. На первом участке - от точки О до А- напряжения прямопропорциональны деформациям, и диаграмма соответствует линейной зависимости. Максимальное напряжение на этом участке обозначается _пц и называется пределом пропорциональности. Для обычных сталей он составляет 200-250 Мпа, а для высокопрочных может быть больше. При дальнейшем увеличении нагрузки деформация растет быстрее, пока в точке В не начнут возникать значительные деформации без увеличения нагрузки (течение материала). Напряжение в точке В - _Тназывается пределом текучести. На участке ВС стержень удлиняется в 10-15 раз больше, чем до предела пропорциональности. В точке С материал начинает упрочняться и появляется дополнительное сопротивление нагрузке, носящее нелинейных характер (участок СD). Точка D диаграммы определяет наибольшее напряжение, которое может выдержать материал и называется пределом прочности (временным сопротивлением)- _в.

На последнем участке - DE происходит резкое сужение образца (образуется шейка) и площадь его уменьшается. В точке Е образец обрывается. Снижение напряжений объясняется не потерей прочности, а именно уменьшением площади и действительные напряжения возрастают вплоть до разрыва.

Наличие предела текучести характерно именно для стали, для алюминия имеет место плавный переход от линейной к нелинейной зависимости. Как в стали, так и в алюминиевых и медных сплавах, разрушению предшествуют большие деформации, поэтому такие материалы называются пластичными. Диаграмма растяжения хрупких материалов показана на рис.2.7,б. Как видно из рисунка они разрушаются при сравнительно низких деформациях. К таким материалам относятся чугун, керамика, бетон, некоторые сплавы металлов и стекло.

Для пластичных материалов в качестве предельного напряжения принят предел текучести, а для хрупких - предел прочности.

2.2.4. Закон Гука. Большинство конструкционных материалов, как пластичных, так и хрупких, имеют начальный участок диаграммы зависимостей напряжений от деформаций, где материал ведет себя упруго и линейно. Такие материалы называются линейно-упругими. Линейная зависимость между напряжением и деформацией выражается зависимостью:

=E (2.6)

Величина Е носит название модуль упругости материала, а формула (2.6) - закон Гука. Модуль упругости имеет ту же размерность, что и напряжение (для стали Е=210⁵ Мпа). Для большинства материалов модуль упругости при сжатии и растяжении одинаков.

Из рис.2.7. видно, что модуль упругости равен тангенсу угла наклона начального участка диаграммы:

tg = / =E. (2.7)

Когда стержень нагружен только растягивающими силами, напряжения и деформации равны:  =F/A, L/L. Подставляя эти соотношения в закон Гука получим формулу для вычисления удлинения стержня:

(2.8)

Произведение модуля упругости на площадь сечения стержня - EA - называется жесткостью стержня при растяжении или сжатии.

2.2.5. Коэффициент Пуассона. При действии на стержень растягивающей нагрузки одновременно с удлинением стержня наблюдается уменьшение размеров поперечного сечения (рис.2.8).

Относительная поперечная деформация будет равна:

Отношение поперечной и продольной деформации называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

Эксперименты показали, что коэффициент Пуассона для металлов имеет значения от 0,25 до 0,35.

2.2.6. Построение эпюр продольных сил и напряжений при растяжении и сжатии. Рассмотрим стержень переменного сечения, нагруженный двумя осевыми силами F₁ = 1КН и F₂ = 2КН (рис.2.9,а). Диаметры участков стержня составляют: d₁ =20 мм и d₂ =30 мм, а длина участков одинакова и составляет 100 мм. Пренебрегая собственным весом, определить внутренние силовые факторы и максимальное напряжение в стержне.

Определим внутренние силовые факторы во всех поперечных сечениях стержня. Для этого разделим стержень на два участка ВС и СD. Рассечем стержень на первом участке сечением 1-1 и рассмотрим равновесие отсеченной части. Составим уравнение проекций всех сил на этом участке на ось Z:

F_kz = 0; N₁ - F₁ = 0.

Отсюда внутреннее усилие в произвольном сечении первого участка N₁ = F₁ =1KH = 1000H.

Затем рассечем стержень в произвольном месте второго участка сечением 2-2 и составим уравнение равновесия отсеченной части:

F_kz = 0; N₂ - F₁ +F₂ = 0.

N₂ =F₁ -F₂ =1000 -2000 = -1000H.

Знак "плюс" говорит о том, что на первом участке стержень испытывает деформацию растяжения, а знак "минус" показывает, что на втором участке стержень сжимается.

Изменение продольной силы по длине стержня удобно представить в виде диаграммы, называемой эпюрой продольных сил. Эпюра продольных сил для рассматриваемого стержня показана на рис.2.9,б. Она показывает, что в каждом сечении одного участка продольная сила одинакова.

При растяжении или сжатии стержней из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения сил, остаются плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации. Это положение называется гипотезой плоских сечений. На основании этого можно считать, что все точки одного се-чения находятся в одинаковых условиях и напряжения по сечению распределены равномерно. Их значения можно найти, как отношение продольной силы к площади сечения. Так как площадь круга А=d²/4, то на первом участке

На втором участке:

Эпюра продольных напряжений показана на рис.2.9,в. Из эпюры видно, что максимальное напряжение в стержне равно 3,18 Н/мм².

2.2.7. Определение продольных перемещений. Найдем перемещение концевого сечения стержня, изображенного на рис.2.9, при условии, что он изготовлен из стали (Е=210⁵ Н/мм²). Для однородного стержня, нагруженного осевой силой, перемещение концевого сечения можно вычислить по формуле (2.8). Для ступенчатого стержня, нагруженного несколькими осевыми силами, надо найти удлинение каждого участка и просуммировать их алгебраически. Тогда формула (2.8) примет вид:

(2.9)

где i - количество участков, - соответственно осевая сила, длина, модуль упругости и площадь каждого участка.

Для указанного стержня i=2, то есть

Подставляя значения получаем:

мм.

2.2.8. Расчеты на прочность при растяжении и сжатии.

Прочность стержня при осевом растяжении или сжатии обеспечивается, если для каждого его поперечного сечения наибольшее расчетное напряжение не превосходит допускаемого:

(2.10)

C помощью формулы (2.10) можно решать три вида задач.

1. Проверка прочности. При заданных продольной силе N и площади поперечного сечения А определяют расчетное напряжение и сравнивают его с допускаемым. Превышение расчетного напряжения над допускаемым не должно быть больше 5 %, иначе прочность детали считается недостаточной. Если рабочие напряжения значительно меньше допускаемых, то данные конструкции являются неэкономичными, с чрезмерным расходом материала. Так, для конструкции, приведенной в предыдущем примере максимальной расчетной напряжение составило 3,18 Н/мм², а допускаемое напряжения на растяжение для стали марки Ст2 составляет 140 Н/мм².

2. Подбор сечения (проектный расчет). Исходя из формулы (2.10), можно определить размеры поперечного сечения, зная его форму, осевое усилие и допускаемое напряжение. Решив неравенство относительно площади сечения А получим:

(2.11)

Для стержня, изображенного на рис.2.9, который имеет круглое поперечное сечение,

A₁ =d₁²/4,

или

то есть прочность стержня обеспечивается, если его диаметр составлял бы 3 мм.

3. Определение допускаемой продольной силы. Решая неравенство (2.10) относительно силы N, можно найти максимально допустимую осевую силу:

[N][]A. (2.12)

Так, при диаметре стержня на первом участке 20 мм, максимально допустимая осевая сила составляет:

N = d₁²/4 =140 ^.3,1420²/4 = 4,410⁴ H.