1 Построение математической модели структуры потоков

Построение математической модели структуры потока в химических реакторах начинается с выбора модели для гидродинамики.

Известны разные подходы к изучению структуры потока и влияния этой структуры на ход химических процессов. Наиболее полную информацию о структуре потока можно получить, зная скорость жидкости в любой точке аппарата, т. е. получив поле скоростей.

Второй возможный подход – описание структуры однофазного потока на основе распределения времени пребывания.

Поле скоростей – сложная трехмерная структура, описание которой должно содержать функции трех координат. Нестационарность добавляет четвертую – время.

Математическое описание поля скоростей получается в виде систем дифференциальных уравнений в частных производных. Универсальным видом математической модели гидродинамики является уравнение, характеризующее изменение концентрации вещества С в потоке по осям x, y, z во времени t, обусловленное движением этого потока с линейными скоростями v_x ,v_y ,v_z диффузией с коэффициентом D :

Решить такую систему с соответствующими краевыми условиями даже с помощью современных ПЭВМ удается лишь в простейших случаях.

При построении модели гидродинамики следует учитывать, что модель должна:

1. Отражать физическую сущность реального потока и в то же время иметь достаточно простое математическое описание.

2. Позволять находить параметры модели расчетным или экспериментальным способом.

3. Быть удобной для использования при расчетах конкретных процессов.

1.1 Определение среднего времени пребывания

Для определения гидродинамического состояния в аппарате во входящий поток добавляют порцию какой-либо примеси, называемой индикатором или трассером. Индикатор должен быть легко количественно определим. На выходе из аппарата измеряют концентрацию индикатора C_инд как функцию времени t. Схема экспериментальной установки изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Схема установки

(1 – ввод индикатора; 2 – вход в аппарат; 3 – выход из аппарата; 4 – датчик концентрации индикатора; 5 – самопишущий прибор)

В момент t=0 на входе резким импульсом вводится индикатор (рисунок 1, рисунок 2а). На выходе (рисунок 2б) вначале C_инд =0: ни одна частица индикатора не успела дойти до выхода. В момент t₁ выхода достигает самая быстрая часть потока, появляется индикатор. Далее его концентрация нарастает до момента t₂, а затем начинает убывать: основная масса потока прошла, выходят те частицы индикатора, которые попали в зоны циркуляции или застоя.

Рисунок 2 – Типичный график зависимости С_инд от t

( импульсное возмущение (а) и сигнал отклика (б))

Результаты эксперимента позволяют определить среднеевремя

пребывания τ:

Время пребывания определяется по формуле:

По полученным экспериментальным данным можно решить одну их двух задач:

• либо по известному объему реактора V рассчитать расход жидкости w,

• либо по известному объемному расходу w – неизвестный объем V.

Для химической технологии важен вариант, когда известен общий объем аппарата, но поток заполняет не весь объем. Необходимо определить, какая часть аппарата занята потоком.

Пример – Объем аппарата составляет 0,012 м3. Аппарат заполнен протекающей жидкостью без воздушных пузырей. При расходе жидкости 0,0021 м³/c проведен эксперимент с импульсным вводом индикатора. На выходе из аппарата получены следующие данные:

Таблица 1 – Экспериментальные данные

t, с	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	>100
0,01 Cинд, моль/м3	0	0	1	4	11	10	7	4	2	0,5	0	0

Так как концентрация индикатора при t > 100 равна нулю, то в качестве верхнего предела интеграла можно принять не ∞, а 100.

Используя известные методы вычисления значения определенного интеграла, находим значение τ, которое составляет 50,5 с. Вычисляем также значение объема аппарата V=τ ·w, которое составляет 0,0106 м³. Таким образом, можно предположить, что в аппарате имеет место застойная зона объемом 0,0014 м³.

По экспериментальным данным можно также определить дисперсию времени пребывания – σ² по формуле:

Как известно, дисперсия характеризует разброс данных относительно среднего значения. Чем больше дисперсия, тем сильнее проявляется продольное перемешивание жидкости. Идеальные потоки характеризуются следующими значениями: для вытеснения σ² = 0, для смешения σ² = 1. В рассматриваемом примере σ² = 0,085. Следовательно, поток ближе к модели идеального вытеснения.