Доказательство иррациональности

Пускай e рационально. Тогда e = p / q, где p и q целые положительные, откуда

p = eq

Умножая обе части уравнения на (q − 1)!, получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

- целое

Но с другой стороны

Получаем противоречие.

Число Пи

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».

Число π (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

Оценки

• (Архимед),

• (дана в книге индийского мыслителя и астронома Арьябхаты в V веке н. э.),

• (оценка приписывается современнику Арьябхаты древнекитайскому астроному Цзу Чун-цжи).

• 510 Знаков после запятой:

π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 530 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Свойства

Соотношения

Известно много формул с числом π:

• Франсуа Виет, 1593:

• Формула Валлиса:

• Ряд Лейбница:

• Тождество Эйлера:

• Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

• Интегральный синус

Трансцендентность и иррациональность

Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа в непрерывную дробь. В 1794-м Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π².

В 1882 г. профессору Кёнигсбергского, позже Мюнхенского университетов Фердинанду Линдеману удалось доказать трансцендентность числа π. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 г. Его доказательство приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 г.

Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

Нерешенные проблемы

• Неизвестно, являются ли числа π и e алгебраически независимыми.

• Неизвестно, являются ли числа π + e, π − e, πe, π / e, π^e, π^π, e^e трансцендентными.

До сих пор ничего не известно о нормальности числа π; неизвестно даже, какие из цифр 0-9 встречаются в десятичном представлении числа π бесконечное количество раз.