Упражнение 7.1. В-формула эрланга

В торговом центре есть игровой зал. Посетители решают, случайно и независимо друг от друга, войти и поиграть, но если все игровые маши­ны заняты, то они переходят в другое место (как альтернатива имеется интернет-кафе).

В течение часов работы в среднем входят, чтобы поиграть, 40 человек в час.

Люди выбирают первую от входа свободную машину и играют в среднем по 6 минут (экспоненциально распределенных). Игровая машина имеет в среднем доход, равный 100 эре¹ в минуту, если она использует­ся. Полные расходы за арендную плату комнат и обслуживания на одну машину — 20 крон в час, независимо от того, используется она или нет. По В-формуле Эрланга можно вычислить, используя рекурсивную формулу, таблицы или компьютеры:

1. Предложенную нагрузку.

2. Каков доход нетто, когда число машин — 4?

3. Выгодно ли иметь машин больше или меньше, чем 4?

Каково оптимальное число машин?

Далее мы предполагаем, что число машин — 4.

4. Сколько монет владелец может ожидать от каждой машины после 12 часов открытия?

5. Какое время пройдет, пока последний клиент уйдет после закрытия, если есть 1, 2, 3 или 4 человека, играющие в заключительное время?

6. Каково соотношение времени, когда только одна машина (случай­ная) свободна?

7. Какова вероятность, что свободна машина, находящаяся дальше всего от входа?

Упражнение 7.7. Модель aloha

Определение метода случайного доступа ALOHA см. в примере 6.2.2. Мы рассматриваем систему М/G/l, куда сообщения прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью (скоростью) X, а распределение времени пребывания в системе дается F(l) со средней величиной s= 1.

Есть бесконечное число обслуживающих приборов, и вероятности состояний системы зависят только от распределения времени пребывания в системе через среднюю величину (нечувствительность).

1. Найти предложенную нагрузку и вероятности состояния согласно предположению о статистическом равновесии.

Сообщение обслуживается правильно, только если является единствен­ным в течение всего времени пребывания в системе. Таким образом, система должна быть пуста во время прибытия, и ни один новый вызов не может поступить в течение времени пребывания в системе предыдущего вызова.

В следующих двух вопросах мы принимаем, что время пребывания в системе является постоянным со средней величиной

5=1.

2. Найти вероятность, что сообщение передано правильно.

3. Найти нагрузку, которая будет обслужена правильно, и показать, что она имеет максимум, равный 1 / 2е= 0,1839 для А. = 0,5.

В остающейся части упражнения примем, что время пребывания в системе является экспоненциально распределенным со средней величи­ной s=l.

4. Найти вероятность, что сообщение передано правильно.

5. Показать, что общее количество правильно переданных в единицу вре­мени сообщений имеет максимум (0.2059) для Х=(V5 -1)/2=0,6180.

6. Найти функцию распределения и среднюю величину времени пре­бывания в системе сообщений, которые переданы правильно. Затем найти обслуженную нагрузку сообщений, которые переданы пра­вильно.

Упражнение 7.8. Прибытие пакетов в систему с потерями

Мы рассматриваем чистую систему с потерями с 4 каналами. События возникают в процессе поступления вызовов согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью Х.=1 [события/единица времени]. Каждое собы­тие соответствует двум попыткам вызова, которые обслуживаются незави­симо. Если в момент прибытия есть только один свободный канал, то одна из этих двух случайных попыток вызова будет отклонена. Время обслужива­ния - экспоненциально распределенное со средней величиной

ц^-,= 1 [единица времени].

1. Найти предложенную нагрузку (измеренную в каналах).

2. Установить диаграмму переходов состояний системы, когда состояние х определяется как общее количество занятых каналов (* = 0, 1, 2,3, 4).

3. Показать, что вероятности состояний согласно предположению о статистическом равновесии будут:

П2 _12 .12 JS_

\ 49’ 49’ 49’ 49’ 49J ’

Найдите потери по нагрузке (соотношение предложенной и поте­рянной нагрузок).

4. Найти потери системы по времени и по вызовам.

Упражнение 7.9. Эрланговская система с потерями

Мы рассматриваем систему с потерями Эрланга с п = 3 обслуживаю­щими приборами. Процесс поступления вызовов — Пуассоновский про­цесс с интенсивностью X = 0,5 в единицу времени вызова. Время обслужи­вания является экспоненциально распределенным со средней величиной

4. единицы времени.

1. Найти предложенную нагрузку А.

2. Создать диаграмму переходов состояний и найти вероятности состо­яния, когда система находится в статистическом равновесии.

3. Получить дифференциальные уравнения, которые описывают систе­му (только для состояния 2).

4. Найти вероятность блокировки Е, применяя рекурсивную формулу для В-формулы Эрланга (отдельные рекурсии должны получиться из ответа).

5. Найти согласно предположению о последовательном поиске нагруз­ку, которую несет отдельный обслуживающий прибор.

6. Показать, что вероятности состояния системы, наблюдаемой вызо­вом (клиентом), покидая систему (обратным подсчетом), такие же, как те, что наблюдаются клиентом в момент, когда он входит в систе­му (учитывая блокированных клиентов). Используйте диаграмму переходов состояний, чтобы найти, сколько клиентов прибывают/ покидают систему в каждом состоянии.

Упражнение 7.10. Эрланговская система с потерями

Мы рассматриваем систему с потерями, которая имеет 4 канала и обслу­живает РСТ-1 нагрузку. Интенсивность поступления (интенсивность) X —

1. вызов в единицу времени, и среднее время обслуживания рг¹ - 2 единицы времени. Система предположительно находится в статистическом равновесии.

1. Найти предложенную нагрузку и нарисовать диаграмму переходов состояний системы.

2. Найти вероятности состояния и потери по времени, потери по вызо­вам, потери по нагрузке.

3. Вычислить потери по времени, используя рекурсивную формулу для В-формулы Эрланга. Отдельные шаги рекурсий должны быть приведены.

4. Принять, что порядок поиска случайный, и найти вероятность, что два заданных канала являются занятыми (остающиеся каналы могут быть заняты или свободны).

5. В каком количестве каналов мы нуждаемся, если нагрузка увели­чится и примет значение 0,20? (Примените результаты, полученные в~ответе на вопрос 1).

6. Найти распределение числа вызовов, которые будут потеряны в тече­ние периода, когда все 4 канала заняты.