2. Ток в металлах, жидкостях и газах
Основные формулы
Плотность тока j, средняя скорость <v> упорядоченного движения носителей заряда и их концентрация n связаны соотношением
j=en<v>,
где е - элементарный заряд.
Закон Ома в дифференциальной форме
j= γE,
где γ - удельная проводимость проводника; Е - напряженность электрического поля.
Закон Джоуля - Ленца в дифференциальной форме
ω=γE2,
где ω - объемная плотность тепловой мощности.
Удельная электрическая проводимость
где е и т - заряд и масса электрона; п - концентрация электронов; <l>- средняя длина их свободного пробега; и - средняя скорость хаотического движении электронов
Закон Видемана - Франца
где λ - теплопроводность.
Термоэлектродвижущая сила, возникающая в термопаре,
ε = α (Т1- Т2) ,
где α - удельная термо-ЭДС; (Т1- Т2) - разность температур спаев термопары.
Законы электролиза Фарадея. Первый закон
m=kQ,,
где m - масса вещества, выделившегося на электроде при прохождении через электролит электрического заряда Q; k - электрохимический эквивалент вещества.
Второй закон
k=M/ (FZ),
где F - постоянная Фарадея (F=96,5 кКл/моль); М - молярная масса ионов данного вещества; Z - валентность ионов.
Объединенный закон,
где I - сила тока, проходящего через электролит; t - время, в течение которого шел ток.
Подвижность ионов
b=<υ>/E,
где <υ> - средняя скорость упорядоченного движения ионов; Е напряженность электрического поля.
Закон Ома в дифференциальной форме для электролитов и газов при самостоятельном разряде в области, далекой от насыщения,
j=Qn(b++b-)E,
где Q -заряд иона; п- концентрация ионов; b+и b- - подвижности соответственно положительных и отрицательных ионов.
Плотность тока насыщения
jнac = Qn0d,
где п0- число пар ионов, создаваемых ионизатором в единице объема в единицу времени; d - расстояние между электродами [n0=N/(Vt), где N - число пар ионов, создаваемых ионизатором за время t в пространстве между электродами; V - объем этого пространства].
Примеры решения задач
Пример 2.1. По железному проводнику, диаметр d сечения которого равен 0,6 мм, течет ток 16 А. Определить сpeднюю скорость <υ> направленного движения электронов, считая, что концентрация n свободных электронов равна концентрации п' атомов проводника.
Р
е ш е н и е. Средняя скорость направленного
(упорядоченного) движения электронов
определяется по формуле
<υ>=l/t, (1)
где t- время, в течение которого все свободные электроны, находящиеся в отрезке проводника между сечениями I и II, пройдя через сечение II (рис. 2.1), перенесут заряд Q=eN и создадут –ток
(2)
где е - элементарный заряд; N- число электронов в отрезке проводника; l- его длина.
Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно выразить следующим образом:
N=nV=nlS, (3)
где S - площадь сечения.
По условию задачи, п=п'. Следовательно,
(4)
где NA - постоянная Авогадро; Vm - молярный объем металла; М - молярная масса металла; ρ - его плотность.
Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в равенство (3) и N из формулы (3) в равенство (2), получим
Отсюда найдем
Подставив выражение l в формулу (1), сократив на t и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость направленного движения электронов:
(5)
Произведем по этой формуле вычисления:
Пример 2.2. В цепь источника постоянного тока с ЭДС ε=6 В включен резистор сопротивлением R=80 Ом. Определить: 1) плотность тока в соединительных проводах площадью поперечного сечения S=2 мм2; 2) число N электронов, проходящих через сечение проводов за время t= 1 с. Сопротивлением источника тока и соединительных проводов пренебречь.
Р е ш е н и е. 1. Плотность тока по определению есть отношение силы тока I к площади поперечного сечения провода:
j=I/S. (1)
Силу тока в этой формуле выразим по закону Ома:
(2)
где R - сопротивление резистора; R1 - сопротивление соединительных проводов; ri - внутреннее сопротивление источника тока.
Пренебрегая сопротивлениями Rl и ri из (2), получим
I =ε/R.
Подставив это выражение силы тока в (1), найдем
j =ε/(RS).
Произведя вычисления по этой формуле, получим j=3.75*104 A/м
2. Число электронов, проходящих за время t через поперечное сечение, найдем, разделив заряд Q, протекающий за это время через сечение, на элементарный заряд:
N =Q/e,
или с учетом того, что Q=It и I=ε/R,
.
Подставим сюда числовые значения величин и вычислим (элементарный заряд: e=1,60*10-19 Кл):
N =4,69*1017 электронов.
Пример 2.3. Пространство между пластинами плоского конденсатора имеет объем V =375 см3 и заполнено водородом, который частично ионизирован. Площадь пластин конденсатора S=250 см2. При каком напряжении U между пластинами конденсатора сила тока I, протекающего через конденсатор, достигнет значения 2 мкА, если концентрация n ионов обоих знаков в газе равна 5,3*107 см-3? Принять подвижность ионов b+=5,4*10-4 м2/(В*с), b-=7,4*10-4 м2/ (В*с).
Р е ш е н и е. Напряжение U на пластинах конденсатора связано с напряженностью Е электрического поля между пластинами и расстоянием d между ними соотношением
U=Ed. (1)
Напряженность поля может быть найдена из выражения плотности тока
j=Qn(b++b-)E,
где Q - заряд иона.
Отсюда
Расстояние d между пластинами, входящее в формулу (1), найдем из соотношения
d=V/S.
Подставив выражения Е и d в (1), получим
(2)
Проверим, дает ли правая часть полученной расчетной формулы единицу напряжения:
Подставим в формулу (2) значения величин и произведем вычисления:
