Задача 2
Решить систему линейных уравнений, заданную в группе А, задаче 2 методом обратной матрицы и методом Гаусса.
Решение. а) Метод Гаусса.
Прямой ход: запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду.
.
Обратный ход: по полученной расширенной матрице составим систему и решим ее.
Ответ: x=0; y=-1; z=2;
б) Матричный способ.
Данную систему можно записать в матричном
виде:
,
где
- матрица системы,
- столбец неизвестных,
- столбец свободных членов. Тогда решение
системы в матричном виде будет иметь
вид:
,
где
- обратная матрица к матрице
,
которая находится по формуле:
.
Здесь
- матрица, составленная из алгебраических
дополнений элементов матрицы
.
Найдем определитель системы:
.
Т.к.
,
то система имеет единственное решение,
а матрица
имеет обратную. Составим матрицу
:
.
Тогда обратная матрица примет вид:
.
а само решение системы:
Ответ: x=0; y=-1; z=2;
Задача 3
Найти косинус
угла между векторами
и
,
площадь параллелограмма, построенного
на этих векторах.
Решение. Пусть А(0; 0; 1), В( 2; 3; 5), С(6; 2; 3).
Известно, что
произвольный вектор
представляется в системе орт
по формуле
где
- координаты вектора
в системе координат.
Если заданы
точки
,
то для вектора
Тогда
Если вектор
задан своими координатами
,
то его модуль вычисляется следующим
образом:
Используя
эту формулу, получаем модули найденных
векторов:
Для нахождения
косинуса угла между векторами
и
воспользуемся формулой:
где
-
скалярное произведение векторов
и
,
которое можно вычислить следующим
образом:
У нас
то есть
.
Воспользуемся формулой нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах и :
где
– векторное произведение векторов,
которое можно вычислить по следующему
правилу:
.
В нашем примере
,
причём
Таким образом,
(кв. ед.).
Задания для самостоятельного решения
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
., ,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
,
,
.
2. Тема «Аналитическая геометрия» Вопросы, выносимые на самостоятельную работу
Виды уравнений прямой на плоскости.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Канонические уравнения окружности, эллипса и гиперболы
Канонические уравнения параболы.
Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.
Виды уравнений плоскости.
Взаимное расположение плоскостей.
Виды уравнений прямых в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Расстояние от точки до прямой в пространстве.
Поверхности второго порядка
Группа А
Задача 1
Найти координаты точки
,
равноудаленной от точек
.
Решение. Если точка
,
равноудалена от точек
,
то
.
Расстояние d между
точками A(x1;
y1; z1)
и B(x2;
y2; z2)
определяется по формуле
.
Таким образом, мы получаем уравнение:
или
.
Ответ. точка
,
равноудалена от точек
.
Задания для самостоятельного решения
Задача 2
Дан треугольник с вершинами
.
Требуется:
Составить уравнения сторон;
Составить уравнения высоты
и медианы
;Найти угол между и .
Решение. Пусть А(-1;2), В(5;-1), С(-4;-5).
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(x1;y1) и B(x2;y2) имеет вид
Подставляя координаты точек А и В,
получаем уравнение стороны АВ:
Аналогично получим уравнение прямой ВС:
Аналогично получим уравнение прямой АС:
Для составления уравнения медианы АN найдём сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС:
Теперь, получаем уравнение медианы:
,
,
.
Для составления уравнения высоты ВМ
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через заданную точку
с заданным угловым коэффициентом
,
которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых
АС и ВМ, которое выражается соотношением
,
,
откуда
.
Тогда искомое уравнение примет вид:
(ВМ).
Найдем угол между и . Для этого воспользуемся формулой:
,
рад.