Оглавление

Аннотация 3

The summary 3

Задание 5

Введение 5

Теория метода 6

Разработка программы на языке VBA 8

Вычислительная схема метода Зейделя 10

Решение СЛАУ методом Зейделя в MS Excel 11

Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad 12

Заключение 14

Библиографический список 15

Задание

Разработать программу для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя с точностью на языке Visual Basic for Application. Проверить правильность работы программы в табличном редакторе Microsoft Excel и в математических пакетах MathCad и MatLab.

Введение

Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет сл. вид:

, где

корни СЛАУ;

коэффициенты системы;

свободные члены.

Если число m уравнений равно числу n неизвестных, то такая система называется квадратной. В данной работе рассматривается решение квадратных систем.

В матричном виде квадратная СЛАУ выглядит следующим образом:

или , где

А – матрица коэффициентов системы;

х – столбец неизвестных;

b – столбец свободных членов.

Для матрицы А существует невырожденная матрица С, если . Тогда . Если матрица С является обратной для А, т.е. , тогда:

Для решения СЛАУ разработано множество методов. Прямые методы позволяют найти решение за определенное количество шагов. К ним относятся:

1. Метод Гаусса;

2. Метод Гаусса – Жордана;

3. Метод Крамера;

4. Матричный метод и др.

Итерационные методы позволяют найти решение СЛАУ путем уточнений начальных приближений многократным повторением одинаковых итераций. Число итераций зависит от заданной точности решения.

Наиболее распространенные итерационные методы:

1. Метод Якоби (метод простой итерации);

2. Метод Гаусса – Зейделя.

К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:

1. задачи механики (статические, теплотехнические);

2. задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;

3. задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;

4. системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.

Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем линейных уравнений, но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить систему линейных уравнений.

Теория метода

Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации.

Пусть дана квадратная система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью :

или

Для решения данной СЛАУ можно применить метод Зейделя, если выполняется условие сходимости для матрицы А. Оно заключается в следующем: модули диагональных элементов строки или столбца матрицы должны быть больше суммы модулей недиагональных элементов этой строки или столбца, т.е.:

Преобразуем матричное выражение к виду , разрешив n-ю строку относительно переменной :

Придадим начальные приближения , значения которых можно рассчитать как: . Посчитаем первые приближения, подставив в систему. Соответственно, на k-м шаге приближения будут рассчитываться как:

В общем виде расчетные формулы выглядят:

Из вычислительной математики известие факт, что для СЛАУ в виде , при условии сходимости матрицы, в процессе итераций получаемые приближения сходятся к корням уравнения при любом начальном приближении, т.е. , где i-й корень СЛАУ. Количество итераций зависит от необходимой точности. Если задана точность , то процесс уточнения неизвестных прекращают, когда выполняется условие критерия близости на k-м шаге: