1.5 Метод приближения к идеальному решению.

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности (скалярные), — множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

Метод приближения к идеальному решению относится к группе методов, основанных на сведении задачи многокритериальной оптимизации к задаче однокритериальной оптимизации.

Идеальным решением задачи многокритериальной оптимизации (1) называется вектор , где

минимальное значение частного критерия оптимальности во множестве .

Напомним, что векторы , доставляющие минимумы соответствующим критериям оптимальности , вообще говоря, различны.

Введем в рассмотрение скалярный критерий оптимальности

(2)

где — некоторая векторная норма, например, евклидова; — нормированный векторный критерий оптимальности; — нормированное идеальное решение (единичный -вектор).

В методе приближения к идеальному решению вместо задачи (1) решается задача условной оптимизации со скалярным критерием оптимальности

(3)

Заметим, что если — евклидова норма, то критерий оптимальности является квадратичной функцией компонент вектора . Поэтому если, дополнительно, множество является выпуклым, то задача (3) представляет собой задачу квадратичного программирования. Этот факт значительно упрощает решение задачи (3).

Дополнительной информацией в методе приближения к идеальному решению является информация, заключенная в способе сворачивания векторного критерия оптимальности в скалярный критерий .

Поскольку метод приближения к идеальному решению использует нормированные частные критерии оптимальности, этот метод инвариантен к масштабу измерения частных критериев.

1.6 Метод последовательных уступок.

Рассмотрим задачу многокритериальной оптимизации

(1)

где — векторный критерий оптимальности, — частные критерии оптимальности (скалярные), — множество допустимых значений вектора варьируемых параметров.

В методе последовательных уступок прежде производится качественный анализ относительной важности частных критериев оптимальности . На основании этого анализа частные критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности. Положим, что главным является критерий , следующим по важности – критерий , затем следуют остальные частные критерии .

Затем для каждого из частных критериев, исключая последний по важности критерий , назначаются уступки — допустимые, с точки зрения лица, принимающего решения (ЛПР), увеличения соответствующих критериев относительно их оптимальных значений ф_k( )= = ф_k( ).

Далее решается задача минимизации критерия

(2)

и определяется множества допустимых значений — сужение множества допустимых значений:

(3)

Переходим к следующему по важности критерию . Решается задача минимизации критерия

(4)

и определяется множества допустимых значений — сужение множества допустимых значений:

(5)

Т.е. минимизация критерия производится при условии, что значения предыдущего критерия не превосходит величины .

И т.д. до предпоследнего по важности критерия . Решается задача минимизации критерия

(6)

и определяется множества допустимых значений — сужение множества допустимых значений:

(7)

Наконец, переходим к последнему по важности критерию . Решается задача минимизации критерия

(8)

В качестве решения задачи (1) принимается решение со значениями частных критериев .

Достоинством метода последовательных уступок является то, что он легко позволяет контролировать, ценой какой уступки в одном частном критерии приобретается выигрыш в другом частном критерии. Заметим также, что свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незначительных уступок, может оказаться существенной, так как в окрестностях минимума обычно эффективность решений меняется слабо.

Не смотря на идейную простоту метода последовательных уступок, практическое применение этого метода сопряжено со значительными трудностями.

1. Метод последовательных уступок применим для решения лишь тех задач многокритериальной оптимизации, в которых все частные критерии естественным образом упорядочены по степени важности.

2. Поскольку взаимосвязь частных критериев обычно неизвестна, заранее назначить величины уступок , как правило, не удается. Поэтому изучение взаимосвязи частных критериев и назначение величин уступки приходится производить в процессе решения задачи. Практически, для этого вначале оценивают взаимосвязь частных критериев , . Для этого задают несколько величин уступок и определяют соответствующие значения второго по важности критерия . На основе анализа этой информации лицо, принимающее решение, принимает решение о величине первой уступки . Затем аналогично оценивают взаимосвязь частных критериев , и назначают величину второй уступки . И так далее до критериев , и уступки . Таким образом, фактически приходится решать каждую из задач (2), (4), (5), (6) не однократно, как в изложенной схеме, а многократно.

3. Изложенная схема метода последовательных уступок предполагает, что каждый частный критерий настолько существенно более важен, чем последующий частный критерий, что можно ограничиться учетом только попарных связей критериев и выбирать величину уступки для данного критерия с учетом поведения лишь одного следующего критерия.

4. Сложной самостоятельной проблемой является отыскание в явном виде множеств .

Дополнительной информацией в методе последовательных уступок является информация об относительной важности частных критериев , а также информация об уступках .