16 Функции численного интегрирования. Примеры функций и обоснование выбора.

Наиболее часто используются функции с переменным шагом интегрирования, в этом случае величина шага меняется от одной расчетной точки к другой, при этом размер локальной погрешности позволяет контролировать размер шага и не возникает необходимости сравнивать величину шага для получения гладкой кривой выходной переменной.

ode45-эффект одношагового решателя общего назначения. Функция выбирается по умолчанию и рекомендуется для интегрирования новой системы ОДУ.(метод Рунге-Кутта 4 и 5 порядка точности)

ode23- Используют методу Рунге –Кутта 2 и 3 порядка. Рекомендуется для умеренно жесткой задачи. Функция требует меньший размер шага интегрирования чем ode45 для обеспечения сравнимой точности.

ode113 — многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка Функция использует многошаговые разностные методы, обеспечивающие требуемую точность при меньшем объеме вычислений, производящихся в промежуточных точках, что обеспечивает более высокую точность интегрирования. Функция не предназначена для интегрирования системы дифуравнений правая часть, которых имеет разрыв.

ode15s – использует формулу неявного многошагового разностного метода с переменным порядком точности схемы для жесткой задачи. Если применяется функция ode45 дает низкую скорость интегрирования, рекомендуется выбирать ode15s.

ode 23s – реализуется модифицированный метод Розенброка с постоянным шагом и фиксированным порядком точности. Функция предназначена для интегрирования умеренно жесткой задачи с низким требованием поточности. Этот одношаговый решатель зачастую имеет большую скорость интегрирования чем ode15s в случае жесткой задачи рекомендуется выбрать эффект решения путем уравнения.

ode 23t реализуется одношаговая разностная схема предиктор-корректор (метод трапеций) Рекомендуется для умеренно жесткой задачи, функция ode 23t и ode23s имеет схожий алгоритм, но первый обеспечивает более высокую скорость интегрирования.

ode23tb- использует метод трапеций на первом этапе, на втором формируется обратное дифференцирования, имеет низкий порядок точности и меньшую скорость интегрирования, чем ode23t.

discrete- реализует аналитический метод нахождения решений разностного уравнения с заданным шагом интегрирования.

Как правило лучшее решение дает система с переменным шагом интегрирования. В этом случае шаг автоматически уменьшается, если скорость изменения результата в процессе решения растет и напротив, если результат меняется слабо, шаг решения автоматически увеличивается, это исключение обычно накапливает ошибку, которая нередко случается при фиксированном шаге.

обоснование выбора функции интегрирования.

Среди различных численных методов решение ДУ не существует наилучшего и универсального метода. Выбор алгоритма зависит от типа и параметра интегрирования динамической системы.

Группа опций «функции решателя» включают 4 поля для контроля значений шага интегрируемой функции с переменным шагом интегрирования. Поля максим и начальное значение шага позволяют понизить вероятность пропуска решателя ОДУ участков с существенно изменившимся характером поведения решателя разностного уравнения. для использования S значений полей по умолчанию необходимо задать значение auto в соответствующем текстовом поле.

Два других текстовых поля позволяют задать абсолютную и относительную погрешность компонента вектора решений, что используется для изменения шага интегрирования. По умолчанию максимальное значение размера шага справедлива оценка Hmax=(Tstop-Tstart)/50

Следующее рассмотренное условие, при котором целесообразно задавать фиксированное значение поля maxшаг. Если интервал интегрирования жесткой системы имеет большое значение, то задаются по умолчанию максимальным значением шага интегрирования может иметь такую величину, что участки с быстропротекающим процессом будут пропущены.

В случае если известен максимальная частота составляющая спектра непрерывной динамической системы, то макс. шаг интегрирования рекомендуется установить ¼ периоду колебаний.

Если в поле (начальное значение шага) =auto, то в S оценке шага производится на основе производной вектора состояния в начальный момент времени.

В случае если на начальном участке интегрирования выделяется быстро изменяемая составляющая решения, то начальный шаг интегрирования имеет малое значение. В большинстве других случае выбор начального шага производится в соответствии с функцией решателя ДУ.

Значение относительной и абсолютной погрешности используются для вычисления допустимой значимой оценки погрешности интегрирования для каждого компонента вектора состояния.

При выборе функций с фиксированным размером шага необходимо ввести значение шага в соответствующее поле или значение auto.