Лекція 7. Основні поняття теорії теплопровідності

Теплопровідністю називається передача тепла від однієї частини тіла до іншої або від одного тіла до іншого, що перебувають у контакті, за допомогою молекулярного переносу (дифузії вільних електронів у металах, передачі теплового руху сусіднім молекулам і атомів в неметалах і рідинах, обміну енергією молекул, що співударяються, в газах).

Аналітичне вивчення теплопровідності зводиться до вивчення часово-просторової зміни температури у вигляді залежності:

, (7.1)

де - просторові координати в декартовій системі; - час.

Сукупність миттєвих значень температури в усіх точках досліджуваного простору називається температурним полем.

Якщо точки поля, що мають однакову температуру, з'єднати між собою, то отримаємо ізотермічну поверхню.

Вектор, рівний першій похідній температури по нормалі до ізотермічної поверхні (рис.7.1) і спрямований у бік зростання температури називається температурним градієнтом: , К/м. (7.2)

Р ис. 7.1.Температурний градієнт.

Кількість тепла, що проходить через довільну ізотермічну поверхню (F) за одиницю часу, називається тепловим потоком (Q), Дж/с. Тепловий потік, віднесений до одиниці ізотермічної поверхні, називається густиною теплового потоку (q), Вт/м²:

або у диференціальній формі . (7.3)

Густина теплового потоку є вектором, напрям якого збігається з напрямом поширення тепла і протилежний напряму вектора температурного градієнта.

Закон Фур'є. Ж. Фур'є на основі експерименту сформулював основний закон теплопровідності (закон Фур'є), згідно з яким густина теплового потоку прямо пропорційна градієнту температури, тобто:

, (7.4)

де  –коефіцієнт теплопровідності, Вт/м·К.

Коефіцієнт теплопровідності для середовищ різного агрегатного стану залежить від температури: , (7.5)

де: - коефіцієнт теплопровідності середовища при температурі t; - коефіцієнт теплопровідності середовища при температурі t=0С; b - емпірична стала.

Диференціальне рівняння теплопровідності. Рівняння, яке описує перенос тепла теплопровідністю при наявності внутрішнього джерела (стоку) тепла називається диференціальним рівнянням теплопровідності:

або (7.6)

де - коефіцієнт температуропровідності, м²/с; q_v - потужність внутрішнього джерела (стоку) тепла Вт/м³; с_р - теплоємність при постійному тиску, кДж/кг·К;  - густина середовища, кг/м³.

Для одномірного температурного поля, наприклад, необмеженої пластини, диференціальне рівняння теплопровідності має такий вигляд:

. (7.7)

Крайові умови. Для знаходження сталих інтегрування необхідно використовувати крайові умови, які поділяють на початкову і граничні умови.

Початкова умова визначається заданням закону розподілу температури у тілі або середовищі в початковий момент часу, тобто:

. (7.8)

Граничні умови першого роду полягають у заданні температури на поверхні тіла в будь-який момент часу: . (7.9)

Граничні умови другого роду полягають у заданні густини теплового потоку для кожної точки поверхні тіла в будь-який момент часу:

. (7.10)

Граничні умови третього роду полягають у заданні густини теплового потоку для кожної точки поверхні тіла законом Ньютона-Ріхмана конвективного теплообміну, згідно з яким кількість тепла, переданого за одиницю часу з одиниці поверхні тіла в навколишнє середовище, прямо пропорційна різниці температур між поверхнею тіла (t_п) і навколишнім середовищем (t_с):

, , , (7.11)

, . (7.12)

де  - коефіцієнт тепловіддачі (Вт/м²·К).

Стаціонарний режим. Теплопровідність плоскої стінки. Характерною ознакою стаціонарної теплопровідності є сталість у часі температури в будь-якій точці досліджуваного простору і, як наслідок, незмінність теплового потоку.

Н ехай маємо одношарову плоску стінку товщиною , причому її товщина значно менша лінійних розмірів бічної поверхні (рис.7.2).

Рис. 7.2. Теплопровідність одношарової плоскої стінки.

Температури на лівій і правій гранях постійні і рівні відповідно і .

Для стаціонарного процесу при відсутності внутрішніх джерел тепла в плоскій стінці рівняння теплопровідності приймає вигляд :

(7.13)

Для наведеної задачі температура (t) залежить тільки від координати х. Тому у рівнянні часткову похідну можна замінити на повну:

(7.14)

Після подвійного інтегрування цього рівняння одержуємо:

; t =C₁x+C₂ . (7.15)

Розташовуючи початок координат на лівій грані стінки, знаходимо постійні інтегрування С₁ і С₂ з умов: при х=0, t=t_CT1; при х=, t=t_CT2

С₂=t_CT1; . (7.16)

Підставляючи значення С₁ і С₂ у рішення рівняння теплопровідності, одержуємо лінійний розподіл температури в плоскій стінці:

. (7.17)

, отже: . (7.18)

Визначаючи кількість переданого тепла запишемо рівняння Фур'є:

. (7.19)

Після підстановки у рівняння Фур'є, одержимо:

, Вт/м² . (7.20)

Відношення коефіцієнта теплопровідності до товщини стінки називається тепловою провідністю плоскої стінки, а обернена їй величина, що позначається буквою R, називається термічним опором стінки, К·м/Вт:

. (7.21)

Розглянемо теплопровідність двошарової стінки з товщинами шарів ₁ і ₂ (рис.7.3). Позначимо через t_CT1 і t_CT3 температури на лівій та правій гранях двошарової стінки, а температуру на стику шарів через t_CT2.

Рис. 7.3. Теплопровідність двошарової стінки.

При стаціонарному процесі кількість тепла, що проходить через ліву і праву грані двошарової стінки, однакова. Тому кількість тепла, що пройшло через перший шар (q₁), дорівнює кількості тепла, що проходить через другий шар (q₂), тобто q₁=q₂=q= const.

Для кожної стінки можна записати:

, , (7.22)

де ₁ і ₂ - коефіцієнти теплопровідності шарів.

Додавши температурні перепади першого (t_СТ1 - t_СТ2) і другого (t_СТ2 - t_СТ3) шарів, знаходимо температурний перепад двошарової стінки:

t_СТ1- t_СТ3= . (7.23)

З отриманого виразу знаходимо тепловий потік через двошарову стінку:

. (7.24)

Аналогічно, для тришарової стінки справедливе рівняння:

. (7.25)

Для стінки, що складається з n шарів, можна записати:

, (7.26)

де – повний термічний опір багатошарової плоскої стінки.

Температура на стику першого і другого шарів дорівнює:

, (7.27)

де R₁ - термічний опір першого шару.

З останнього рівняння випливає, що:

t_СТ1- t_СТ2=q₁R₁ . (7.28)

Отже, температурний перепад кожного шару дорівнює добутку густини теплового потоку на термічний опір відповідного шару.

Еквівалентний коефіцієнт теплопровідності багатошарової стінки (_екв) дорівнює коефіцієнту теплопровідності одношарової стінки, товщина якої така ж як і товщина багатошарової, а термічний опір дорівнює термічному опору багатошарової стінки, тобто

, звідки . (7.29)

Т еплопровідність циліндричної стінки. Маємо одношарову циліндричну стінку з внутрішнім і зовнішнім діаметрами відповідно d₁=2r₁ і d₂=2r₂. Температура на внутрішній поверхні стінки становить t_СТ1, а на зовнішній t_СТ2 (рис.7.4).

Рис. 7.4. Теплопровідність одношарової циліндричної стінки.

Для необмеженого циліндра (m=1) за відсутності внутрішніх джерел тепла (q_v=0) рівняння (7.6) набуває вигляду:

. (2.30)

Щоб розв’язати рівняння (7.30), необхідно понизити його порядок введенням функції виду:

. (7.31)

Рівняння набуває вигляду:

. (7.32)

Розділяючи змінні і проводячи операцію інтегрування, одержимо:

ln U + ln x = ln C₁, (7.33)

або ln(Ux)=lnС₁, звідки маємо:

Ux=C₁ . (7.34)

Повертаючись до первісної функції і проводячи друге інтегрування, одержимо:

; (7.35)

; (7.36)

(7.37)

Постійні інтегрування С₁ і С₂ визначимо з граничних умов: при x=r₁ t=t_СТ1; при x=r₂ t=t_СТ2

t_СТ1=C₁ ln r₁+C₂; t_СТ2=C₁ ln r₂+C₂ . (7.38)

Розв’язанням цієї системи буде:

. (7.39)

Після підстановки С₁ і С₂ у рівняння (7.37) одержимо:

. (7.40)

Рівняння (7.40) визначає розподіл температури по товщині циліндричної стінки. З його аналізу випливає, що розподіл температури в циліндричній стінці підкоряється логарифмічному закону.

Для визначення кількості теплоти, що проходить через циліндричну поверхню (F) за одиницю часу, як і у разі плоскої стінки, скористаємося законом Фур'є:

. (7.41)

Підставляючи в рівняння Фур'є значення температурного градієнта (7.35) та враховуючи, що F=2xl, де l - довжина циліндричної стінки, одержимо:

. (7.42)

Для визначення кількості теплоти, що проходить через циліндричну стінку, доцільно скористатися тепловим потоком, віднесеним до одиниці довжини стінки (l=1м):

. (7.43)

Тепловий потік, віднесений до одиниці довжини циліндричної стінки, має розмірність Вт/м і називається лінійною густиною теплового потоку.

Як випливає з рівняння (7.43), при незмінному співвідношенні d₂/d₁ лінійна густина теплового потоку не залежить від поверхні циліндричної стінки.

У виразі (7.43) величина називається тепловою провідністю циліндричної стінки, а величина обернена їй - термічним опором:

. (7.44)

Р івняння (7.43) можна поширити і на багатошарову циліндричну стінку. Спочатку розглянемо двошарову циліндричну стінку з координатами d₁=2r₁, d₂=2r₂ і d₃=2r₃ (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Теплопровідність двошарової циліндричної стінки.

Температура на внутрішній поверхні стінки становить t_СТ1, а на зовнішній - t_СТ3. Коефіцієнти теплопровідності шарів рівні, відповідно, ₁ і ₂. Позначимо температуру на стику шарів через t_СТ2. При стаціонарному процесі кількість тепла, що проходить через перший і другий шари, повинна бути однаковою. Тоді, згідно з (7.43) можемо записати:

, . (7.45)

Визначимо часткові температурні напори першого і другого шарів:

; . (7.46)

Повний температурний напір двошарової циліндричної стінки визначаємо складанням часткових температурних напорів:

. (7.47)

Звідси знаходимо:

. (7.48)

Неважко довести, що для тришарової стінки справедливим буде вираз:

. (7.49)

Для циліндричної стінки, що складається з n шарів, можна записати:

. (7.50)

Знаменник рівняння (7.50) виражає термічний опір багатошарової циліндричної стінки:

. (7.51)

Температуру на стику шарів можна визначити з виразів (7.45):

, або . (7.52)

Нестаціонарний режим. Нестаціонарна теплопровідність характеризується тим, що температура змінюється не тільки від точки до точки твердого тіла чи нерухомого плинного середовища, але і в часі.

Ця зміна описується, наприклад, для необмеженої пластини рішенням диференціального рівняння теплопровідності :

(7.53)

Постійна визначається з граничних умов, а постійні і - з початкових.

Для граничних умов третього роду при початковій температурі пластини і постійній температурі навколишнього середовища рішення рівняння теплопровідності у випадках нагрівання (рис.7.6,а) і охолодження пластини (рис.7.6,б) :

; (7.54)

, (7.55)

де і - коефіцієнти доданків ряду; - порядковий номер доданка ряду; ; - критерії Фур'є і Біо; - характерний розмір; де _ст - коефіцієнт теплопровідності пластини.

а б

Рис.7.6. Розподіл температури в середовищі і стінці.

Інженерний метод розв’язання задачі нестаціонарної теплопровідності полягає у тому, що визначаються критерії F₀ і Bi та за їхніми значеннями з використанням відповідних графіків знаходиться відносна надлишкова температура () (рис.7.7, 7.8). Кожен графік побудований для конкретної відносної координати (= ).

Рис. 7.8. Номограма для визначення температури поверхні необмеженої пластини.