Точки разрыва функции, их классификация.
Точка
называется точкой
разрыва функции
,если
не определена в точке
или не является непрерывной в этой
точке; Точка
называется точкой
разрыва 1- го рода,
если в этой точке функция
имеет конечные, но не равные друг другу
левый и правый пределы;
Точка называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.
Определение производной функции в данной точке. Геометрический смысл производной.
Производная в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.
Рассмотрим график функции y = f ( x ):
Из
графика видно, что для любых двух точек
A
и B
графика функции:
xf(x0+
x)−f(x0)=tg
,
где
-
угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение
равно угловому коэффициенту секущей.
Если зафиксировать точку A
и двигать по направлению к ней точку B,
то
x
неограниченно уменьшается и приближается
к 0, а секущая АВ
приближается к касательной АС.
Следовательно, предел разностного
отношения равен угловому коэффициенту
касательной в точке A.
Отсюда
следует:
производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
В этом и состоит геометрический смысл производной.
16. Правило исследования на монотонность средствами дифференциального исчисления.
1) Найти область определения функции;
2) Найти производную функции, приравнять её к 0 и вычислить критические точки;
3) Расставить на числовой прямой критические и особые точки функции и определить знак производной в каждом полученном интервале;
4) Если в интервале производная положительна, то в нем функция возрастает, а если отрицательна - убывает;
17. Правило исследования на экстремумы средствами дифференциального исчисления.
1) Найти область определения функции;
2) Найти производную функции, приравнять её к 0 и вычислить критические точки;
3) Расставить на числовой прямой критические и особые точки функции и определить знак производной в каждом полученном интервале;
4) Если в интервале производная положительна, то в нем функция возрастает, а если отрицательна - убывает;
5) Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то эта критическая точка является точкой max, а если с минуса на плюс, то это будет точка min, если знак не меняется, то экстремума в этой точке нет;
6) Вычислить значения функции в каждой точке экстремума.
18. Правило исследования на выпуклость и вогнутость средствами дифференциального исчисления.
Кривая графика называется вогнутой, если её точки располагаются над касательной, проведенной в любой её точке;
Кривая графика называется выпуклой, если её точки располагаются под касательной, проведенной в любой её точке;
Граница участков выпуклости – вогнутости или вогнутости – выпуклости называется точкой перегиба графика;
Найти область определения функции;
Найти 2-ую производную, приравнять её к 0 и вычислить критические точки;
На числовой прямой расставить особые и критические точки, и определить знак второй производной в каждом полученном интервале;
Если в интервале 2ая производная положительна, то в нем график является вогнутым, а если отрицательна, то график выпуклый;
Правило исследования на точки перегиба средствами дифференциального исчисления.
Найти область определения функции;
Найти 2-ую производную, приравнять её к 0 и вычислить критические точки;
На числовой прямой расставить особые и критические точки, и определить знак второй производной в каждом полученном интервале;
Если в интервале 2ая производная положительна, то в нем график является вогнутым, а если отрицательна, то график выпуклый;
Если при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то эта критическая точка является точкой перегиба; если знак не меняется – точки перегиба в этой критической точке нет;
Выполнить значения функции в каждой точке перегиба.
20. Асимптоты графика функции: определение, виды и уравнения.
Асимптотой графика функции называется прямая, которая при бесконечном удалении от начала координат сколько угодно близко приближается к графику, с ним не пересекаясь.
Различают 3 вида асимптот:
Вертикальная;
Горизонтальная;
Наклонная;
где
21. Схема исследования функции для построения её графика.
Область определения функции;
Исследование на четность, нечетность;
Асимптоты графика;
Участки монотонности и экстремумы функций;
Участки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функций;
Дополнительные точки графика.
Дифференциал функции: определение и алгоритм для вычисления.
Дифференциальной
функцией в данной точке называется
главная часть приращения функции в этой
точке и обозначается
Из определения следует правило вычисления дифференциалом:
1) Вычислить дифференциал функции;
2) Дифференциал функции зависит от 2х величин: от аргумента и от приращения аргумента в данной точке;
3) Найти дифференциал аргумента.
23. Формулы для приближенных вычислений с помощью дифференциала функции.
1)
- формула для приближенного вычисления
приращения функции в заданной точке;
2)
- формула для приближенного вычисления
значения функции в заданной точке;
3)
- формула для приближенного вычисления
степени числа;
4)
- формула для приближенного вычисления
корня n-степени
из числа.
24. Первообразная для функции. Неопределенный интеграл: определение и основные обозначения.
Неопределенным
интегралом -
называется множество всех её первообразных
и обозначается
;
- подынтегральное выражение;
- подынтегральное выражение;
- знак интеграла;
- первообразная для подынтегральной
функции;
- постоянная интегрирования.
25. Основные свойства неопределённых интегралов.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
26. Определенный интеграл: определение и геометрический смысл.
Определенным интегралом на отрезке АВ называется предел её интегральных сумм, если он конечен и не зависит от выбора точек в разбиениях.
Из
геометрического смысла определенного
интеграла следует, что площадь фигуры,
ограниченной осью ОХ, прямыми
,
и графиком положительной функции
определенного интеграла этой функции
на отрезке АВ.
1)
;
2) ;
3)
;
4)
.
27. Основные свойства определенных интегралов.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
28. Дифференциальные уравнения: определение и обозначения, порядок уравнения, виды решений.
Уравнение, содержащее независимую переменную, искомые функции и её производные и дифференциалы, называется дифференциальным уравнением.
Символически ДУ можно обозначить как:
1)
;
2)
.
Порядком ДУ является наивысший порядок производной искомой функции или дифференциала.
Решить ДУ, значит выразить искомую функцию через независимую переменную и постоянные величины.
Различают 2 вида решений ДУ:
Общее решение;
Частное решение.
В общем решении искомая функция выражается через независимую С и постоянные С.
Количество постоянных определяется порядком ДУ.
В частном решении с помощью дополнительных условий определяются значения величин С. Дополнительные условия в уравнении называются – начальными. Чтобы найти постоянные, в общее решение подставляют начальные условия, тем самым определяют постоянные величины.
Процесс нахождения частного ДУ называется задачей Каши.
29. Линейные ду первого порядка, алгоритм их решения.
и
,
где
и
функции независимой переменной или
числа называется уравнением ДУ 1-го
порядка.
Алгоритм решения линейных ДУ:
Привести уравнение к стандартному виду;
Ввести подстановку
,
где
и
каждая самостоятельная функции;Продифференцировать подстановку
;Подставить в уравнение эти подстановки для и для
;В левой части сгруппировать два последних слагаемых, вынеся общий множитель за скобку;
Выражение в скобках приравнять к 0 и решить полученное ДУ с разделяющимися переменными;
Подставить значение функции в оставшуюся часть уравнения и решить новое уравнение, относительно функции ;
В подстановку пункта 2 подставить значения и - тем самым найти общее решение уравнения.
30. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка, алгоритм их решения.
Уравнения
вида
или
Для нахождения частного решения требуются начальные условия в виде:
1)
;
2)
и
- постоянный коэффициент.
Составляем характеристическое уравнение:
