Властивості числових нерівностей

Властивість 1.

Доведення. Якщо , то . Помножимо , одержимо від’ємне число . Отже, .

Властивість 2.(Властивість транзитивності).

Доведення. , то

, то

Після додавання правих сторін, отримаємо . А тому, .

Властивість 3. нерівності і хибні.

Властивість 4. . Якщо , то

Доведення. , то . Додамо і віднімемо в лівій частині число с: . Отже, .

Властивість 5. , якщо

Доведення. Якщо то .

Якщо , то добуток .

Якщо , то .

Властивість 6. Нерівності однакового знаку можна почленно додавати, залишивши спільний знак нерівності: і .

Доведення. за властивістю 4

за властивістю 4 . За властивістю 2 , тобто .

Властивість 7. Нерівності протилежного знаку можна почленно віднімати, поставивши знак тієї нерівності, від якої віднімали: .

Властивість 8. Нерівність одного знаку з додатними членами можна почленно множити, поставивши спільний знак нерівності: .

Властивість 9. Нерівності протилежного знаку з додатними членами можна почленно ділити, поставивши знак тієї нерівності, яку ділити: .

3. Змінні – це знаки, які відіграють роль порожніх місць у математичному тексті, які дозволяється заміняти іменами елементів з деяких множин, які складають область значень змінних.

Вирази, які містять змінні називаються виразами із змінними. Вирази бувають з однією, двома і т.д змінними (a+2,4x-y,x+y-z,….). Вираз із змінною не є висловленням, ні предикатом. Якщо замість змінної підставити деяке її значення ми отримаємо числовий вираз. Вирази із змінними позначають

Означення 5. Множина значень, яких може набувати змінна х, для того щоб вираз мав зміст, називається множиною допустимих значень змінної або областю визначення виразу .

Означення 6. Два вирази і називаються тотожно рівними по множині х , якщо виконуються наступні умови:

1. множини допустимих значень в цих виразах співпадають;

2. виконується рівність . Якщо сполучити два тотожно рівних вирази знаком рівності, то одержимо запис, який називається тотожністю. Приклад: . Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називають тотожним перетворенням виразу. Наприклад .

У математиці доведено цілий ряд тотожностей, які використовують при тотожних перетвореннях виразів:

1) - квадрат суми двох чисел;

2) - квадрат різниці;

3) - різниця квадратів;

4) - куб суми;

5) - куб різниці;

6) - сума кубів;

7) - різниця кубів.

Довести одну із них, решта самостійно.

Тема 2 Функції

1. Поняття числової функції, способи її задання, графік функції, властивості функції.

2. Пряма пропорційність, її властивості і графік.

3. Обернена пропорційність, її властивості і графік.

4. Лінійна функція, її властивості і графік.

5. Квадратична функція, її властивості і графік.

6. Перетворення графіків функцій.

1. Розглядаючи різні види відповідностей , відділимо серед них одну з основних відповідностей – функціональну між елементами множини X і Y.

Означення 1. Відповідність між множиною Х і множиною Y, при якій кожному елементу з множини X співставляється один і тільки один елемент множини Y називається множиною.

Означення 2. Областю визначення функції називається множина тих значень , яких може набувати аргумент Х. Множиною значень функції називається множина всіх значень , яких набуває функція.

Позначають - область визначення.

- область значень.

Нехай X і Y – деякі числові множини.

Означення 3.Числовою функцією, яка визначена на множині Х і приймає значення з множини Y, називається відповідність f, яка кожному числу ставить у відповідність єдине число .

Означення 4. Графіком функції називається множина точок координатної множини таких, що , а .

Способи задання функції

1) Аналітичний (за допомогою формули). Якщо при цьому не вказується область визначення функції, то це означає, що вона збігається з областю існування формули, яка задає функцію.

2) Графічний.

3) Табличний.

4) Словесний.