1 Условия

Введение горизонтального перемешивания значительно усложняет математическую часть задачи. В то время как при одном вертикаль­ном перемешивании задача сводится к выполнению двух квадратур и к решению одного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка, теперь — при введения горизонтального перемешивания ­приходится иметь дело с дифференциальным уравнением 4-го порядка и притом в частных производных.

Уравнение притока тепла в земной атмосфере мы должны взять в виде:

(1)

где р — давление, ρ — плотность, Т — температура, t — время, R — газо­вая постоянная, Сp и Сv — теплоемкости при постоянном давлении и при постоянном объеме, Е — плотность тепловой мощности притока энер­гии.

В нашей задаче έ слагается из трех частей: έ₁ — притока тепла от излучения; έ₂ — притока тепла от турбулентной теплопроводности, έ₃ — притока тепла при переходе воды, находящейся в атмосфере, из одного состояния в другое.

При определении средней годовой температуры естественно считать задачу стационарной. Кроме того, мы отвлекаемся от средних скоро­стей, входящих в левую часть уравнения (1), считая, что наличие скоростей в основном учитывается уже турбулентным перемешиванием. Наконец, мы оставим пока в стороне приток тепла έ_3. Тогда из уравнения (1) получается:

(2)

Условие 1.

Будем считать Землю шаром радиуса а₀ и введем сферические координаты: r — расстояние до центра Земли, θ — дополнение широты (θ=π/2 – φ, φ — широта места, причем южная широта считается отрицательной) и ψ — долгота места, увеличивающаяся от запада к востоку.

Возьмем έ₂ следующего вида:

где λ' — коэффициент турбулентной теплопроводности в вертикальном направлении, а λ" — коэффициент турбулентной теплопроводности в горизонтальном направлении. Вводя координату z = r — а₀ (а₀ = 6,37. 10⁶ м), мы можем записать (3) в виде:

Условие 2.

При составлении выражения для έ₁ мы принимаем схему Шварцшильда-Эмдена. Мы считаем, что радиация распространяется только в вертикальном направлении. Поток коротковолновой радиации, направляющийся сверху (от солнца), обозначим через S; поток длинноволновой радиации, идущий сверху, обозначим через А, а поток длинноволновой радиации, направляющийся вверх, обозначим через В.

Тогда:

здесь ά и ά' — коэффициенты поглощения для «серой» радиации (ά для длинноволновой, ά' для коротковолновой), ρw — плотность поглощаю­щего излучение вещества (главным образом водяного пара), Е=ƒσТ⁴ (σ — постоянная Стефана-Больцмана). Множителем ƒ (правильная дробь) вводится избирательное поглощение по Гульберту [5].

Теперь уравнение (2) запишется так:

Для А, В и S имеют место уравнения:

1.2 Краевые условия задачи

Напишем краевые условия задачи. На верхней границе атмосферы при z = ∞:

1. сверху подводит только солнечная радиация и, следовательно,

A=0; (9)

2. часть энергии солнечных лучей возвращается в мировое про­странство вследствие отражения от облаков, от молекул воздуха и от земной поверхности; мы учитываем это отражение таким условием на верхней границе атмосферы:

где Г — альбедо земли, зависящее от характера подстилающей поверх­ности (вода, суша и др.), а w среднее количество солнечной радиа­ции, получаемое в единицу времени единицей поверхности на верхней границе атмосферы на данной параллели;

3. мы считаем, что на верхней границе атмосферы:

(11)

т.е. в верхних слоях стратосферы температуры выравниваются и:

т. е. атмосфера теряет энергии столько же, сколько получает.

На поверхности Земли (z = 0) примем следующие краевые условия:

где λ^* и Т^* — коэффициент теплопроводности и температура подстилающей поверхности, qƒ — величина, близкая к единице. В задаче о сред­нем годовом распределения температуры в земной атмосфере членом λдT/дz в (13) можно пренебречь, что мы и сделаем.

Введем в качестве независимой переменной приведенную оптическую толщину х:

(15)

где и обозначим А+В через a, В-А через y. Тогда уравнение (5) может быть преобразовано к виду:

^* αρ_ω считаются независящим от θ и ψ.

где:

Теперь из уравнения (6) и (7) получаем:

Из (8) и (10) следует:

(20)

В нашей задаче величины m и М из (27) могут считаться практи­чески постоянными [2, 6]. Мы будем принимать за m и М их наземные или средние значения.

Для а и у из (16) и (18) получаются такие выражения:

Исключая а и у из (19), получим уравнение для Е:

Краевые условия (9), (11), (12), (13) и (14) запишутся теперь так: