Глава 1. Элементы теории множеств

§1 Множества. Операции над множествами.

Необходимо усвоить, что понятие множества является неопределяемым (т.е. не определяется через какие-то другие более простые понятия).

Это понятие, как и понятие элемента множества, нам ясно интуитивно на основе опыта освоения реального мира, например:

 множество действительных чисел;

 множество зрителей в зрительном зале;

 множество точек заданной кривой.

Множества обозначим большими латинскими буквами А,B,С, D,…; их элементы маленькими буквами а;b;с;d… .

Обозначения:

(х является элементом множества А);

(х не является элементом множества А):

-пустое множество (не содержит ни одного элемента);

(множество А является подмножеством множества Е, т.е. А состоит только из элементов, принадлежащих Е);

- множество, состоящее из одного элемента а;

- множество, образованное элементами a;в;с;d;е.

Для того, чтобы обозначить множество элементов, обладающих некоторыми свойствами q(х), будем использовать запись х:х обладает свойством q(х) .

Например, множество рациональных чисел Q можно записать в виде:

Q= х: х= ; n Z; ,

Где Z- множество целых чисел; N- множество натуральных чисел. Кстати, упомянутые последние два множества можно еще записать в виде:

N

Z ±1;±2;…;±n;…

Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит или множеству А, или множеству В. Обозначается объединение множеств А и В, как А В.

Аналогично вводится объединение множеств А , пронумерованных с помощью некоторого множества индексов.

- множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из .

Пример: Пусть набор из четырех множеств

Тогда объединение этих множеств

Пересечением множеств A и B называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству B.(другими словами пересечение состоит из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству B.) (рис. 1)

Пример. Если

Разностью множеств А и B (А\B) называется множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству B. (рис.2).

Пример. Если

В веденные понятия иллюстрируют рис 1,2,3.

Отметим некоторые свойства, которыми обладают введённые выше операции.

1. (коммутативность).

2. ассоциативность

3. (дистрибутивность)

4.

5.

6.Если

Некоторые логические символы

Если из некоторого свойства А следует, что выполняется свойство B, то будем записывать .

Пример. Если - натуральное число n делится на «6», а - натуральное число n делится на «3»,

то верно:

Если из А следует B, а из B следует А, то будем писать . В этом случае говорят ещё А эквивалентно B; A равносильно B. Это также формулируется в форме «для того, чтобы А …, необходимо и достаточно, чтобы B…).

Мы часто будем использовать выражения: утверждение А выполняется «для любого …» (например, для любого натурального числа n). В этом случае мы будем употреблять символ . (n). Вместо слов «существует …, такое, что …» будем употреблять символ .