2.2. Проекция вектора на ось. Свойства проекций.

О сью называется прямая с заданным началом отсчета и направлением (направление на рисунках указывается стрелкой).

Проекцией точки А на ось 0u называется точка А₁ пересечения оси и плоскости , перпендикулярной этой оси и проходящей через точку А (рис. 2.3).

Векторной проекцией вектора на ось 0u называется вектор , где А₁, В₁ – проекции точек А, В на ось 0u.

Числовой проекцией (или просто проекцией) вектора на ось 0u называется число, равное:

, если вектор и ось 0u одинаково направлены (рис. 2.4,а);

– , если вектор и ось 0u направлены противоположно (рис. 2.4,б);

0, если и ось 0u перпендикулярны.

О бозначается проекция вектора на ось 0u символом: . Из определения следует, что

, (2.1)

где – угол между положительным направлением оси 0u и вектором .

Таким образом, если угол острый, то проекция вектора на ось положительна, если тупой угол, то проекция отрицательна; если , то проекция равна нулю.

Вектор называется единичным, если .

Единичный вектор , направление которого совпадает с направлением оси 0u, называется направляющим вектором этой оси или ортом оси. Если – единичный вектор, сонаправленный с вектором , то , если направлен противоположно вектору , то .

С войства проекций

1°. Проекция на ось суммы векторов равна сумме проекций этих векторов, т.е.

(2.2)

2°. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, т.е.

. (2.3)

2.3. Координаты вектора. Координатная запись вектора.

Рассмотрим декартову систему координат, т.е. три взаимно перпендикулярных, пересекающихся в точке 0 оси 0х, 0у, 0z. Пусть – единичные направляющие векторы этих осей и – произвольный вектор. Покажем, что векторы образуют базис. Отложим вектор от начала координат, пусть М – конец вектора , т.е. (рис. 2.7). Обозначим – проекции вектора на оси координат, – проекции точки М на оси координат, – проекцию точки М на плоскость . Тогда, по определению произведения вектора на число, получаем (рис. 2.7):

.

По определению сложения и равенства векторов

следовательно:

Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора. Таким образом, координатная запись вектора имеет вид:

. (2.4)

Откуда следует, что – базис.

Довольно часто вектор задается перечислением его координат, т.е. запись имеет вид: или (первая запись является более строгой, но чаще используется вторая).

Пусть , проекция точки А на ось 0u имеет координату , а проекция точки В – координату , тогда по определению проекции вектора на ось

Следовательно, если

то

Из доказанных в разд. 2.2 свойств проекций вектора на ось получаем правила сложения и умножения вектора на число в координатной форме:

По теореме Пифагора находим длину вектора (рис. 2.7):

(2.5)

И з определения произведения вектора на число следует, что если ненулевые коллинеарные векторы, то такое, что или

.

Отсюда получаем условие коллинеарности векторов, заданных своими координатам:

. (2.6)

Пусть – углы, которые вектор составляет с осями координат (рис. 2.8), тогда по формуле (2.1)

Возведя в квадрат эти равенства и сложив их, получим:

.

Кроме того, , т.е.

,

где – направляющие косинусы вектора . Координаты единичного вектора равны направляющим косинусам.