7. Дослідження функції на опуклість.

Знайдемо другу похідну

Таким чином

Знайдемо нулі другої похідної:

Корінь цього рівняння 0.

Для побудови множини інтервалів для таблиці визначення типів опуклості треба з області визначення функції виключити нулі другої похідної:

0

-2

2

Таблиця для визначення типів опуклості

Інтервал
Знак на інтервалі	-	+	-	+
Тип опуклості	опукла	увігнута	опукла	увігнута

Дослідимо знак в малих околах нулів другої похідної:

При переході від інтервалу до інтервалу , знак змінюється таким чином є точкою перегину.

8. Будуємо графік функції використовуючи отримані результати дослідження.

Графік функції

y

x

2

-2

0

Задача на побудову графіка функції

Задача.

Побудувати графік функції

Розв’язок (за загальною схемою).

1. Область визначення:

2. Дослідження функції на парність або непарність:

функція не є ні парною ні непарною

3. Дослідження функції на неперервність:

Функція неперервна

4. Відшукання точок перетину графіка функції з осями координат.

Знайдемо нулі функції.

Для цього треба розв’язати рівняння

Корінь цього рівняння .

.

Таким чином точка перетину з осями координат, це початок координат

5. Дослідження питання про наявність асимптот.

Оскільки функція неперервна то вертикальних та нахилених асимптот нема.

Оскільки , та нахилених асимптот нема.

Оскільки то горизонтальна асимптота

Для знаходження границі ми скористалися правилом Лопіталя:

6. Дослідження функції на монотонність та відшукання екстремальних точок.

Знайдемо похідну :

Знайдемо нулі похідної:

Корені цього рівняння

Знайдемо значення функції в критичних точках:

Для побудови множини інтервалів для таблиці визначення типів монотонності треба з області визначення функції виключити нулі першої похідної.

Таблиця для визначення типів монотонності та екстремальних точок.

Інтервал
Знак на інтервалі	-	+
Тип монотонності

Дослідимо знак в малих околах нулів похідної:

При переході від інтервалу до інтервалу , знак змінюється з «-» на «+» таким чином точка мінімуму.