Лекция № 6.

Тема: биномиальные коэффициенты

Основные вопросы, рассматриваемые на лекции:

1. Формула бинома Ньютона.

Свойства биномиальных коэффициентов:

2. Следствия формулы числа сочетаний без повторений;

3. Следствия формулы бинома Ньютона.

Краткое содержание лекционного материала

1. Формула бинома Ньютона. Бином Ньютона (1x)ⁿ, после раскрытия скобок и приведения подобных, преобразуется в многочлен канонического вида a₀xⁿa₁x^n1…a_n1x¹a_nx⁰, где a₀1, a_n1, x⁰1. Оказывается, что , где i0,1,…,n. Поэтому числа сочетаний называются также биномиальными коэффициентами. Применятся обозначение: . Формула в следующей теореме называется формулой бинома Ньютона или биномом Ньютона.

Теорема 1. .

Доказательство. . Раскроем скобки и приведем подобные: в полученном многочлене коэффициент при степени xⁱ равен сумме i единиц и ni нулей. Число всевозможных выборов i единиц из общего числа выборов n равно .

2. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы числа сочетаний без повторений. Используя формулу теоремы 5 лекции №5, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 2. , , .

Доказательство. . .

.

Задача 1. Найти все биномиальные коэффициенты для .

Решение запишем в виде треугольника Паскаля – бесконечной таблицы, имеющей треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы, так как . Каждое внутреннее число равно сумме двух расположенных над ним чисел: . Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси: .

Биномиальный коэффициент лежит на пересечении строки n и столбца m.

m n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1

3. Свойства биномиальных коэффициентов как следствия формулы бинома Ньютона. Используя формулу теоремы 1, можно доказать свойства биномиальных коэффициентов, которые мы приведем в следующей теореме.

Теорема 3. Имеют место следующие тождества:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Доказательство. 1) В тождестве теоремы 1 подставим x1.

2) В том же тождестве подставим x1.

3) Продифференцируем обе части того же тождества по x:

.

Затем подставим x1.

4) Проинтегрируем обе части того же тождества по x от 0 до 1:

.

Получим: .