1.2. Линейные операции над геометрическими векторами

1. Сложение векторов.

а) Правило треугольника: . Суммой векторов и называется вектор , идущий из начала первого вектора в конец второго или .

б) Правило многоугольника или

.

в) Если векторы образуют замкнутый многоугольник, как показано на рисунке, то сумма векторов равна нулю:

г) Правило параллелограмма: . Под суммой двух векторов

с общим началом понимается вектор , выходящий из общего начала и совпадающий по длине и направлению с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

2 . Вычитание векторов.

Под разностью векторов и понимается вектор , который в сумме

с вектором дает вектор , т.е. .

Другими словами, это вектор, идущий из

конца «вычитаемого» вектора в конец

«уменьшаемого» (вторая диагональ параллелограмма), .

Выражение можно записать иначе . Эту формулу читают так: чтобы из вектора вычесть вектор надо к вектору прибавить вектор противоположный вектору .

3. Умножение вектора на число.

При умножении вектора на число длина вектора умножается на это число, а направление не изменяется. При умножении вектора на число длина умножается на число , а направление изменяется на противоположное.

1⁰

коммутативность сложения;

2⁰ ассоциативность сложения;

3⁰ существует нулевой вектор (нейтральный элемент), такой что ;

4⁰ существует противоположный вектор, такой что ;

5⁰ ассоциативность относительно и ;

6⁰ ;

7⁰ где любое число дистрибутивность умножения на число относительно сложения;

8⁰ дистрибутивность сложения относительно и .