3˚. Важные примеры криволинейных координат.

1. Полярные координаты. Выше уже были описаны полярные координаты и их связь с прямоугольными декартовыми координатами. Коэффициенты Ламэ легко вычисляются, исходя из их геометрического смысла: , .

Подвижный репер состоит из взаимно ортогональных векторов . Следовательно, полярные координаты представляют собой ортогональную криволинейную систему координат. Поэтому , иначе говоря, .

2. Обобщенные полярные (эллиптические) координаты. По определению они вводятся формулами . Координатными линиями являются эллипсы и лучи . Система − косоугольная. Здесь или .

3. Цилиндрические координаты в пространстве. Так называются величины , где совпадает с соответствующей декартовой координатой точки , а − полярные координаты точки , являющейся проекцией на плоскость . Здесь . Линии − лучи, расходящиеся от оси под прямым углом к ней. Линии − окружности с центром на си , лежащие в плоскостях . Линии − прямые, параллельные оси . Координатные поверхности: полуплоскости , начинающиеся с оси , плоскости , наконец, цилиндры (давшие название системе). Коэффициенты Ламэ: . Данная система является ортогональной. , т.е. .

4. Сферические координаты в пространстве. Так называются величины , где − расстояние точки от начала координат; − широта и долгота точки; . При этом , или . Линии − лучи, выходящие из начала координат; линии − меридианы; линии − параллели. Координатные поверхности – сферы , конусы и полуплоскости , начинающиеся с оси . Коэффициенты Ламэ: , , . Так как сферическая система является ортогональной, то , .

Приложения кратных интегралов.

1˚. Геометрические приложения.

Площадь плоской фигуры.

Пример. Найти площадь фигуры , ограниченной линиями: , , .

Решение.

Для того, чтобы не пришлось разбивать область , перейдём к новым координатам так, чтобы граничные кривые оказались координатными линиями новой криволинейной системы. Именно, пусть , а еще лучше . Тогда будет . При этом в области будет , а ,

. Поэтому .

Объем тела может быть найден по формулам: , где − проекция тела на плоскость .

Пример. Доказать, что объем шарового сектора пропорционален “стрелке” соответствующего сегмента (при фиксированном радиусе).

Решение. Проще всего воспользоваться сферическими координатами. В этом случае и .

Площадь искривленной поверхности.

Предположим, что поверхность задана явным уравнением , где .

Угол между касательной плоскостью к поверхности и плоскость XOY равен углу между нормальным вектором и ортом . Поэтому , а связь между площадью элемента касательной плоскости и

площадью его проекции на плоскость XOY выглядит следующим образом:

или . Рассмотрим теперь площадь “описанного многогранника” .

Определение. Если существует предел суммы при условии, что мелкость разбиения стремится к нулю, будем считать этот предел площадью поверхности . Ясно, что .

Пример. Найти площадь части параболоида вращения , отсекаемой плоскостью .

Решение. = .