2. Действия над случайными событиями

При решении задач бывает удобно представить некоторое событие в виде комбинации нескольких других событий.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А или В, т.е. произошло либо событие А, либо событие В, либо оба эти события одновременно. Аналогично определяется сумма большего числа событий.

Пример 8. Испытание: бросание игрального кубика. Событие А — появление четной грани игрального кубика — представляет собой сумму трех событий В+С+D, где В — выпадение 2, С — выпадение 4, D — выпадение 6.

События В, С и D являются несовместимыми, т.к. не могут произойти одновременно.

Пример 9. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С=А+В, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним из стрелков.

События А и В являются совместимыми.

Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания события А и В произошли одновременно.

Пример 10. Испытание: одновременное бросание 2–х игральных кубиков. Событие С состоит в том, что на обоих кубиках выпало четное число. Пусть событие А — на первом кубике выпало четное число, событие В — на втором кубике выпало четное число. Тогда С=АВ.

Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместимыми, единственно возможными и равновозможными. Эти события называют исходами испытания или элементарными событиями. Для определения числа всех исходов испытания часто пользуются формулами комбинаторики.

Пример 11. Испытание: из колоды карт наудачу выбирают одну карту. Если в колоде всего 36 карт, то это испытание имеет 36 исходов.

Пример 12. Испытание: студент на экзамене берет один из 25 билетов. Так как все билеты разные, то это испытание имеет 25 исходов.

Пример 13. К экзамену студент должен подготовить 50 вопросов. Испытание: на экзамене студент выбирает два из них. Исходом в данном испытании будет являться любая пара вопросов из 50, то есть общее количество исходов .

Пример 14. В лотерее разыгрывается 10000 билетов. Испытание: приобретение одного билета. Это испытание имеет 10000 исходов.

Пример 15. Карточка лото содержит 36 чисел. Испытание: игрок зачеркивает пять из 36 чисел. Так как порядок зачеркивания роли не играет, то число всех исходов равно .

3. Классическое определение вероятности

Рассмотрим испытание, в результате которого может наступить событие А. Каждый исход, при котором появляется событие А, называется благоприятным событию А.

Вероятностью события А называют число, равное отношению числа исходов, благоприятных событию А, к числу всех исходов испытания. Обозначают — Р(А) и вычисляют по формуле Р(А)= , где m  n, где

m — число исходов испытания, благоприятных событию А;

n — число всех исходов испытания.

Данное равенство называется классическим определением вероятности. Вероятность можно вычислять в процентах, например, Р(А)=0,9 и Р(А)=90% эквивалентны.

Примечание. Рассчитанную таким образом вероятность называют априорной. В более сложных ситуациях расчет вероятностей каких–либо случайных событий производится на основании предположений о законах, управляющих деталями соответствующих процессов. Наряду с классическим определением вероятности используются так называемые статистическое (Р(А)= , при ) и геометрическое (Р(А)= ) определения вероятности.

Из классического определения вероятности следует, что:

1. Вероятность любого события 0£Р(А)£1, так как число благоприятных исходов составляет часть от числа всех возможных исходов.

2. Вероятность достоверного события равна 1, так как достоверное событие происходит при всяком испытании (m=n).

3. Вероятность невозможного события равна нулю, так как невозможное событие не имеет благоприятных исходов (m=0).

Пример 16. Испытание: из урны, в которой находятся 10 красных и 8 синих шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

Решение. Это испытание имеет 18 равновозможных исходов (n=18). Каждый исход означает выбор одного шара. Пусть событие А — выбор красного шара, так как всего имеется 10 красных шаров, то число исходов, благоприятных событию А, равно 10 (m=10), следовательно Р(А)=m/n=10/18=5/9.

Пример 17. Испытание: монета подбрасывается один раз. Найти вероятность того, что выпадет герб.

Решение. Данное испытание имеет только два исхода: выпадет или герб, или цифра, то есть n=2. Пусть событие А — выпадение герба, это событие имеет только один благоприятный исход, то есть m=1. Следовательно, вероятность того, что выпадет герб, равна Р(А)=1/2=0,5.

Пример 18. Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что выпадут и герб и цифра.

Решение. Испытание: монета подбрасывается два раза. Пусть событие G — выпадение герба, событие Z — выпадение цифры. Всего может быть 4 исхода: GG, ZZ, GZ, ZG, поэтому n=4. Событие А, состоящее в выпадении и герба, и цифры, имеет два благоприятных исхода: GZ и ZG, m=2. Следовательно, Р(А)=2/4=0,5.

Пример 19. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них 15 выигрывают по 50000 руб., 25 — по 10000 руб., 60 — по 5000 руб. Играющий приобрел один билет. Какова вероятность выиграть не менее 10000 руб.?

Решение. Испытание: выбор наугад одного билета из 1000. Поэтому число всех равновозможных исходов равно n=1000. Пусть событие А состоит в том, что участник лотереи приобрел билет, который выигрывает либо 50000, либо 10000 рублей. Число всех таких билетов равно m=40. Поэтому Р(А)=40/1000=0,04.

Условной вероятностью Р_В(А) события А называют вероятность события А, вычисленную в предположении, что произошло событие В.

Если события А и В — независимые события, то условная вероятность Р_В(А)=Р(А), а условная вероятность Р_А(В)=Р(В), т.к. появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.