163 Теорема о необходимом условии экстремуме фоп.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка   — точка экстремума функции  , то она критическая.

Доказательство

По условию точка   — точка экстремума функции     по теореме Ферма производная     точка   является критической.

Пример:

Найти экстремум функции  . Найдем производную этой функции:    критические точки задаются уравнением  . Корни этого уравнения   и  . Подставим значения   и   в исходную функцию:   и     в точке    функция имеет минимум, равный -4, а в точке   функция имеет максимум, равный 0.

Замечания:

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

162 Определение локального экстремума

По определению функция   достигает в точке   локального максимума (минимума), если существует окрестность этой точки  , на которой выполняется неравенство

                                                    (1)

(соответственно    ) 

Локальный максимум или минимум называется локальным экстремумом (находится в окрестности рассматриваемой точки.). Точка   называется точкой локального экстремума.

161 Определение локального минимума фоп

локальный минимум– это наименьшее значение функции в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки.

•  называется точкой локального минимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

160 Определение локального максимума фоп

локальный максимум – это наибольшее значение функции в некоторой достаточно малой окрестности рассматриваемой точки.

•  называется точкой локального максимума функции   если существует проколотая окрестность   такая, что

159 Определение точки локального минимума фоп

Точка   называется точкой локального максимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности выполняется неравенство:  .

158 Определение точки локального минимума фоп

Точка   называется точкой локального минимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности  .

157 Теорема о достаточных условиях возрастания (убывания) фоп в точке

156 Утверждение о достаточных условиях возрастания (убывания) фоп на отрезке

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых   и  выполняется неравенство  . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

155 Определение монотонной фоп

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное^[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Функция   строго возрастающая или строго убывающая на промежутке называется монотонной на этом промежутке.

154 Определение убывающей фоп

Функция   называется строго убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е.

153 Определение возрастающее фоп

Функция   называется строго возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е.

152 Определение неубывающей фоп

Функция   называется неубывающей на промежутке, если из неравенства   следует неравенство  .

151 Определение невозрастающей фоп

Функция   называется невозрастающей на промежутке, если из неравенства   следует неравенство  .

150 Правило Лопиталя

- метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида   и  . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Пусть функции   и   удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки  , кроме, может быть, самой точки  ;

2)   и   в этой окрестности;

3)  ;

4)   существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и  , причем 

Таким образом, вычисление предела отношения двух функций может быть заменено при выполнении условий теоремы вычислением предела отношения производных этих функций.

Замечание Правило Лопиталя распространяется на случай неопределенности типа   при  .

149 Теорема Лагранжа (о конечных приращениях)

Пусть функция 

1. непрерывна на отрезке  ;

2. дифференцируема на интервале  .

Тогда на интервале   найдется по крайней мере одна точка   , такая, что

Замечание

Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, когда  .

148 Определение дифференциала высокого порядка

Дифференциалом  -го порядка   функции   называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

147 Определение производной высокого порядка

производная  -го порядка функции   есть первая производная от производной  -го порядка этой функции:

146 Определение дифференциала функции

Дифференциалом функции называется линейная относительно   часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

145 Теорема о дифференцируемости обратной функции

Пусть функция   определена на промежутке Х, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема наХ. Если ее производная   в точке   не равна нулю, то обратная функция   имеет производную   в точке  , причем

.                                                  (4.1)

Доказательство. Функция   определена, непрерывна и монотонна на промежутке Х, тогда она имеет обратную функцию  , определенную, непрерывную и монотонную на промежутке Y.

Если значение аргумента   получает приращение  , отличное от нуля, то в силу монотонности функции  функция   получает приращение   и  . В силу непрерывности функции  :  .

Следовательно, 

Итак,   

Теорема доказана.