Задача 2.
Даны
координаты вершин пирамиды
.
Найти:
длину ребра
;
2) угол между ребрами
;
3) угол между ребром
;
4) площадь грани
;
5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой
;
7)уравнение плоскости
;
8)уравнение высоты опущенной из вершины
на грань
.
Сделать чертеж.
-
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
Задача 3.
Линия
задана уравнением
в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от
до
и
придавая
значения через промежуток
;
2) найти уравнение данной линии в
декартовой системе координат, у которой
начало совпадает с полюсом, а положительная
полуось абсцисс с полярной осью; 3) по
уравнению в декартовой прямоугольной
системе координат определить, какая
это линия.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.6.
3.8.
3.9.
3.10.
Задача 4.
Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средством матричного исчисления.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
4.10.
Задача 5.
Дано
комплексное число Z.
Требуется: 1) записать число Z
в алгебраической и тригонометрической
формах; 2) найти все корни уравнения
.
5.1.
.
5.2.
.
5.3.
.
5.4.
.
5.5.
.
5.6.
.
5.7.
.
5.8.
.
5.9.
.
5.10.
.
Решение типового варианта
Задача 1.
Даны
векторы
,
,
,
в некотором базисе. Показать, что векторы
образуют базис и найти координаты
вектора
в
этом базисе.
Решение.
Равенство
(1) называется разложением вектора
по
векторам
[1].
Нас интересует такие системы векторов,
по которым разложение любого вектора
пространства возможно и притом
единственным образом. Такой системой
векторов в пространстве служит любая
тройка некомпланарных векторов
,
которые называются базисом пространства,
а коэффициенты разложения вектора
-
координатами вектора в этом базисе.
Покажем, что векторы образуют базис. Смешанное произведение некомпланарных векторов отлично от нуля [1].
Итак, векторы образуют базис.
Найдем координаты вектора в этом базисе. Равенство (1) равносильно системе линейных уравнений с тремя неизвестными :
Решим ее по правилу Крамера [10]:
,
,
.
Вычислим определитель системы линейных уравнений, который составлен из коэффициентов при неизвестных:
Вычислим
вспомогательные определители
,
которые получаются из определителя
системы путем замены столбца коэффициентов
при соответствующей неизвестной столбцом
свободных членов:
,
,
,
Решение системы имеет вид:
;
;
.
Итак, вектор в базисе представим в виде:
,
т.е. имеем координаты (2;-3;1).
Задача 2.
Даны
координаты вершин пирамиды
,
,
,
,
.
Найти:
длину ребра ; 2) угол между ребрами и
;
3) площадь грани
; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой
;
6) уравнение плоскости
;
7) угол между ребром
и гранью
;
8) уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
.
Решение.