III. Теорія ймовірностей та математична статистика

1. Випадкові події

Відносна частота випадкової події, ймовірність в дискретному просторі елементарних подій. Класичне означення ймовірності. Повна група подій. Геометрична ймовірність. Сумісні і несумісні події. Теореми додавання сумісних і несумісних подій. Залежні і незалежні події. Теореми множення залежних і незалежних подій. Формула повної ймовірності. Формула Байєса.

2. Випадкові величини

Загальне поняття випадкової величини та її функції розподілу. Поняття і розподіл дискретних випадкових величин. Основні дискретні розподіли та їх властивості (біноміальний, геометричний та пуассонівський розподіли). Абсолютно неперервні розподіли. Щільність розподілу і її властивості. Основні абсолютно неперервні розподіли та їх властивості (нормальний, показниковий, рівномірний розподіли). Розподіл дискретного випадкового вектора. Щільність розподілу абсолютно неперервного випадкового вектора. Рівномірний і нормальний розподіли на площині. Умовний розподіл. Розподіл функцій від випадкових величин. Розподіл суми (різниці), частки і добутку двох випадкових величин. Поняття і властивості математичного сподівання дискретної випадкової величини. Математичне сподівання біноміального, геометричного та пуассонівського розподілів. Поняття і властивості дисперсії дискретної випадкової величини. Дисперсії біноміального, геометричного та пуассонівського розподілів. Математичне сподівання довільної і абсолютно неперервної випадкових величин. Математичне сподівання і дисперсія рівномірного, показникового та нормального розподілів. Моменти вищих порядків. Поняття і властивості умовного математичного сподівання. Поняття і властивості коефіцієнта кореляції.

3. Граничні теореми теорії ймовірностей

Нерівність Чебишова. Закон великих чисел. Теореми Хінчина (без доведення), Чебишова, Бернуллі, Маркова. Локальна теорема Лапласа. Інтегральна теорема Лапласа. Поняття і властивості характеристичних функцій випадкових величин. Теореми Бохнера-Хінчина, Марцинкевича, Пойа (без доведення). Характеристичні функції основних розподілів. Поняття і властивості твірних функцій випадкових величин. Центральна гранична теорема для однаково розподілених випадкових величин. Граничні теореми в схемі Бернуллі.

4. Елементи вибіркової теорії

Предмет та основні задачі математичної статистики. Ймовірнісно-статистична модель. Вибірки. Емпірична функція розподілу. Варіаційний ряд і статистичний ряд розподілу вибірки. Гістограма і полігон вибірки. Граничні теореми для емпіричної функції розподілу (без доведення). Теоретичні та вибіркові моменти. Збіжність за ймовірністю та асимптотична нормальність вибіркових моментів. Розподіл порядкових статистик.

5. Оцінювання невідомих параметрів розподілу

Незміщені та умотивовані оцінки. Поняття і властивості оптимальних оцінок. Поняття функції правдоподібності, внеску вибірки, функції інформації. Нерівність Рао-Крамера. Ефективні оцінки. Експоненціальні моделі. Достатні статистики. Критерій факторизації. Теорема Рао-Блекуела-Колмогорова. Повні достатні статистики і рівняння незміщеності. Метод максимальної правдоподібності. Метод моментів. Інтервальне оцінювання невідомих параметрів розподілу. Розподіл деяких функцій від нормально розподілених випадкових величин. Інтервальні оцінки та методи їх побудови. Інтервали надійності для невідомих параметрів нормального розподілу. Асимптотичний інтервал надійності для оцінки невідомої ймовірності події.