Получение оптимальных оценок параметров модели с помощью метода наименьших квадратов
Соотношения, описывающие результаты проведенных экспериментов, представим в компактном виде. Для этого введем следующие обозначения:
-
вектор, компонентами которого являются
значения выходной переменной, измеренные
в каждом из экспериментов;
F – матрица размера Nˣk, имеющая следующую структуру:
– вектор,
компонентами которого являются случайные
ошибки измерения выходной переменной.
С учетом введенных обозначений, результаты проведенных экспериментов можно представить в следующем виде:
Дальнейшая реализация МНК опирается на следующие предположения о статистических свойствах ошибок измерений:
ошибки измерений – несмещенные, т.е. mε=0:
систематическая составляющая ошибок измерений отсутствует. Т.к. систематические составляющие погрешности измерения, как правило, устраняются на этапе калибровки измерительного оборудования, это утверждение всегда выполняется;
ошибки измерения выходной переменной в разных экспериментах не коррелированны, т.е. статистически независимы.
дисперсия измерений выходной переменной во всех экспериментах постоянна, т.е. измерения являются равноточными:
В качестве критерия оптимальности оценок параметров модели в МНК используется следующий:
Известно,
что оптимальная оценка
параметров модели
,
обеспечивающая
min
выше
приведенного критерия, может быть
получена на основе выражения:
C – дисперсионная матрица, определяемая как:
Анализ точности экспериментальной модели
Анализ можно проводить с разных позиций. В данной работе буде использован подход, основанный на оценке точности вычисления значения выходной переменной с помощью модели.
Значения выходной переменной у с помощью модели рассчитывается следующим образом:
Поскольку вектор оценок параметров модели – случайный вектор, значение выходной переменной, полученной с помощью модели, является случайной величиной. Характеристикой точности случайной величины выступает ее дисперсия. По определению: дисперсия выходной переменной у - σу рассчитывается следующим образом:
;
тогда
Получение доверительных интервалов для параметров модели
В том случае, когда ошибки измерений в дополнение к ранее упомянутым свойствам (несмещенность, некоррелированность, равноточность) являются нормально-распределенными, могут быть получены более обоснованные оценки точности экспериментальной модели. Эти оценки предполагают расчет для каждого параметра модели доверительного интервала, т.е. интервала, которому с заданной вероятностью, близкой к 1, принадлежат неизвестные нам истинные значения параметра модели.
Для получения доверительного интервала используется следующее выражение:
– оценка
параметра модели, полученная с помощью
МНК;
– истинное
значение параметра модели;
– СКО
оценки параметра модели, рассчитываемые
как:
,
где
S – СКО ошибок измерения выходной переменной;
– диагональные
элементы дисперсионной матрицы:
Известно,
что случайная величина Т
имеет
распределение Стьюдента с числом
Степеней свободы
.
В
таблицах математической статистики
приведены значения квантилей распределения
Стьюдента
обычно для доверительных вероятностей
α=0,95;
0,99; 0,999.
В данной курсовой работе при расчете доверительных интервалов в качестве критического значения распределения Стьюдента было использовано значение, соответствующее 95% доверительной вероятности, получаемое из таблиц для числа степеней свободы, равного 2.
Следовательно, с гарантированной вероятностью α будет выполняться следующее неравенство:
Отсюда следует доверительный интервал, которому принадлежат истинные значения параметров модели:
