4. Загальні відомості про парні та непарні функції

Множина симетрична відносно початку координат. Якщо область визначення функції - симетрична відносно 0, то цікаво виділити функції, графіки яких теж мають певну симетрію. З геометричної точки зору симетрія може бути осьовою (відносно прямої) і центральною (відносно точки).

Функція називається парною, якщо для неї виконуються наступні умови:

1. Для будь-якого дійсного числа з області визначення функції знайдеться протилежне число , яке також належить області визначення

2. Для усіх виконується рівність: .

Тобто:

- парна на

Приклад. - парна функція (мал. 4.1.)

Мал. 4.1

Функція називається непарною, якщо для неї виконуються наступні умови:

1. Для будь-якого дійсного числа з області визначення функції знайдеться протилежне число , яке також належить області визначення

2. Для усіх виконується рівність: .

Тобто:

- непарна на

П риклад. - непарна функція (мал. 4.2)

Мал. 4.2

Я кщо не виконується принаймні одна з умов, зазначених вище, то функція ні парна, ні непарна.

Приклад. - ні парна, ні непарна функція (мал.4.3.)

Мал.4.3

Геометричний зміст:

1. Графік парної функції симетричний відносно осі ординат. Так, якщо ми візьмемо точку , яка належить графіку парної функції, то за означенням , або , також належатиме графіку функції. Очевидно, що ці точки симетричні відносно осі (Мал. 4.1)

2. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Якщо взяти точку , що належить графіку непарної функції, то точка , або , також буде належати графіку функції (Мал. 4.2).

5. Властивості парних і непарних функцій та арифметичні операції над ними

Для того щоб розглянути деякі властивості парних та непарних функцій, зверніть увагу на наступні теореми:

1. Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - ні парна, ні непарна.

Доведення.

Оскільки функція - парна, а функція - непарна, то за означенням маємо:

- парна на

- парна на .

Знайдемо :

. Отже, функція - ні парна, ні непарна, що і треба було довести.

Приклад. Нехай дано функції:

- парна (оскільки ), - непарна ( ), тоді - ні парна, ні непарна, тому що:

(мал.5.1)

Мал.5.1

Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - непарна.

Доведення. За умовою:

- парна на

- парна на .

Знайдемо :

. А це означає, що функція - непарна, що і треба було довести.

Приклад: Нехай дано парну функцію та непарну функцію і функція - їх добуток, тоді

Розглянемо функцію :

Отже, функція - непарна (Мал. 5.2.)

Мал. 5.2

2. Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - парна.

Доведення.

За умовою:

- парна на

- парна на .

Знайдемо :

, а це означає, що функція - парна, що і треба було довести.

Приклад. Нехай - парна, - непарна, тоді

. Перевіримо функцію на симетрію:

. Отже, функція - парна

(Мал. 5.3)

Мал. 5.3

3. Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - парна

Доведення.

За умовою:

- парна на

- парна на .

Знайдемо :

, а це означає, що функція - парна, що і треба було довести.

Приклад. Нехай - парна, - непарна, тоді

. Знайдемо значення функції в точці :

, що свідчить про те, що функція парна. (Мал. 5.4)

Мал. 5.4

4. Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - непарна.

Доведення.

За умовою:

- парна на

- парна на .

Знайдемо :

, а це свідчить про те, що функція - непарна.

Приклад. Нехай - парна функція, - непарна, тоді

Перевіримо функцію на парність:

Отже, функція - непарна (Мал. 5.5).

Мал. 5.5

5. Якщо функція - парна, а функція - непарна , то функція - непарна.

Доведення. За умовою:

- парна на

- парна на .

Знайдемо :

, тобто функція - непарна, що і треба було довести.

Приклад. Нехай - парна функція, - непарна, тоді

Перевіримо функцію на парність:

А це означає, що функція - непарна (Мал. 5.6).

Мал. 5.6