Билет 10.Геометрическое определение вероятности.Примеры

Геометрические вероятности. Теорема сложения вероятностей. Противоположные события. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Вероятность появления хотя бы одного события.

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности.

Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошен-ная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:

(2.1)

где l — длина отрезка l, а L — длина отрезка L.

Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:

(2.1`)

где s — площадь части области, а S — площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:

(2.1``)

где v — объем части тела, а V — объем всего тела.

Пример 1. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.

Решение. Пусть радиус круга равен R , тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга  а площадь шестиугольника Следовательно,

Пример 2. На отрезок АВ случайным образом брошены три точки: С, D и М. Найти вероятность того, что из отрезков АС, АD и АМ можно построить треугольник.

Решение. Обозначим длины отрезков АС, АD и АМ через x, y и z и рассмотрим в качестве возможных исходов множество точек трехмерного пространства с координатами (х, у, z). Если принять длину отрезка равной 1, то эти множество возможных исходов представляет собой куб с ребром, равным 1. Тогда множество благоприятных исходов состоит из точек, для координат которых выполнены неравенства треугольника: x + y > z, x + z > y, y + z > x. Это часть куба, отрезанная от него плоскостями x + y = z, x + z = y, y + z = x

хРис.1.

(одна из них, плоскость x + y = z, проведена на рис.1). Каждая такая плоскость отделяет от куба пирамиду, объем которой равен . Следовательно, объем оставшейся части

Билет 11. Пространство элементарных событий. Сигма алгебра событий Алгебра событий

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую только на множестве событий (каждый третий студент 1 курса ЭФ не знает, что такое область определения функции. А вы знаете?).

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств . При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно введённых в параграфе 2 главы 1 операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Определение 10. Множество , элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется алгеброй (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1)    (алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2)  если , то  (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

(A3)  если и , то  (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

Из свойств (A1) и (A2) следует, что пустое множество также содержится в .

Из (A3) следует, что вместе с любым конечным набором событий алгебра содержит их объединение: для любого , для любых , ...,  выполнено .

Вместо замкнутости относительно операции объединения можно требовать замкнутость относительно операции пересечения.

Свойство 1. Свойство (A3) в определении 10 можно заменить на

(A4)  если и , то .

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если , , то , по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что , и, по (A2), дополнение к этому множеству также принадлежит . В силу формул двойственности, дополнение к объединению как раз и есть пересечение дополнений:

Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.

Пример 11. Пусть — пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств являются алгебрами (проверьте это по определению):

1. — тривиальная алгебра.

2. .

3. , где — произвольное подмножество (в предыдущем примере ).

4. — множество всех подмножеств .

Упражнение 11. Доказать, что если состоит из элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно элементов.