Тема 5. Случайные сигналы. Модели случайных процессов. Вероятностные характеристики случайного процесса.

Цель лекции:

1. Случайные сигналы. Ансамбль реализаций.

2. Модели случайных процессов.

3. Равномерное распределение случайных величин

4. Нормальное распределение случайных величин

5. Вероятностные характеристики случайного процесса.

Вопросы:

1. Понятие случайные сигналы и их ансамбль реализаций

2. Как строятся модели случайных процессов?

3. Равномерное распределение случайных величин

4. Каковы вероятностные характеристики случайного процесса?

1 Случайные сигналы

В отличии от детерминированных сигналов, форму которых мы знаем точно, мгновенные значения случайных сигналов заранее не известны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть вероятностный вид.

В радиотехники существует два основных класса сигналов, нуждающихся в вероятностном описании. Во-первых, это шумы – хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, возникающие в разнообразных физических системах из-за беспорядочного движения носителей заряда. Во-вторых, случайными являются все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям, также прибегают к вероятностным моделям.

Ансамбль реализаций

Математическая модель изменяющегося во времени случайного сигнала называется случайным процессом. По определению, случайный процесс Х(t) – это функция случайного вида, характеризующаяся тем, что значения, принимаемые ею в любой момент времени t, являются случайными величинами.

До регистрации (до приёма) случайный сигнал следует рассматривать именно как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени x_i(t), подчиняющихся некоторой общей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приёма сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени. На рисунке 6.1 приведен пример нескольких реализаций случайного процесса.

2 Модели случайных процессов

Для анализа свойств и характеристик случайного процесса, а также различных его преобразований необходимо задать математическую модель случайного процесса. Такая модель может представлять собой описание возможных реализаций случайного процесса в сочетании с указанием относительной частоты их появления. Приведем несколько примеров моделей случайных процессов, задаваемых таким образом.

X₁ (t)

t₁ t₂ t

x₂(t)

t₁ t₂ t

x₃(t)

t₁ t₂ t

Рисунок 6.1-Реализации случайных процессов

Гармонический сигнал со случайной начальной фазой

Во многих практических задачах используется модель случайного процесса, реализации которого представляют собой гармонические колебания с известными (детерминированными) амплитудой и частотой, но случайной начальной фазой. Таким образом, реализация рассматриваемого случайного процесса может быть записана как

где А – амплитуда (детерминированная), ω₀ – частота (детерминированная) и φ – случайная начальная фаза, которая в большинстве практически интересных случаев может считаться равномерно распределенной на интервале 0…2π, то есть имеющей следующую плотность вероятности:

Графики нескольких реализаций данного случайного процесса, представляющие собой синусоиды, смещённые друг относительно друга по временной оси, показаны на рисунке 6.2.

x(t)

0 t

Рисунок 6.2- Реализация гармонического сигнала со случайной начальной фазой

Как видите, конкретный вид реализации процесса в данном случае определяется значением всего лишь одной случайной величины – начальной фазы.

Случайный телеграфный сигнал. Таким сигналом назван случайный процесс, реализации которого принимают значения +1 и -1, причем перепады уровня происходят в случайные моменты времени и число N перепадов уровня, происходящих за время τ, является случайной величиной с дискретным распределением вероятности, описываемым законом Пуассона:

(6.1)

Здесь λ – неотрицательный параметр, определяющий среднюю частоту возникновения перепадов уровня.

Скачки уровня происходят в случайные моменты времени t_k, поэтому аналитически записать формулу для отдельной реализации данного случайного процесса оказывается весьма затруднительно, а изобразить ее график можно лишь условно рисунок 6.3.

x(t)

1

t

-1

Рисунок 6.3-Реализация случайного телеграфного сигнала

В данном случае конкретная реализация задается бесконечным множеством случайных величин – моментов перепадов уровня t_k, а характеристики случайного процесса определяются статистическими свойствами этих случайных величин.

Итак, полное описание случайного процесса дает его ансамбль реализаций. Однако для решения практических задач часто достаточно более простых характеристик, выражающихся в виде числовых параметров и детерминированных функций. Об этом пойдёт речь далее.