2. Нарощена сума ренти
Розглянемо постійну, звичайну, річну ренту. Наприклад, платежі у розмірі 100 грн. протягом трьох років вносяться наприкінці року на рахунок, де наростає 5% річних. Тоді перші 100 грн. лежатимуть на рахунку 2 роки і збільшаться, тобто сума 100 грн., виплачених наприкінці першого року, дорівнюватиме наприкінці ренти 100∙1,052 =110,25 грн. Аналогічно другі 100 грн., які внесені наприкінці другого року, наприкінці терміну ренти вартуватимуть 100∙ 1,05=105 грн. Останні 100 грн., внесені наприкінці третього року, не зміняться. Отже, наприкінці терміну ренти (через 3 роки) внески разом з нарахованими на них відсотками утворять ряд: 100∙1,052; 100∙ 1,05; 100. Сума цих платежів: 100∙1,052+100∙ 1,05+ 100=100∙(1,052+1,05+1)=100∙3,1525=315,25 (грн.) – це нарощена сума річної ренти з членом R= 100 грн., терміном 3 роки; відсотковою ставкою 5% річних (рис. 1).
315,25
Рис. 1
Узагальнимо приклад, використавши відповідні умовні позначення: S – нарощена сума ренти; P – розмір члена ренти; i – річна ставка відсотків у коефіцієнтах; n – термін ренти в роках.
Платежі P, які вносяться, разом з нарахованими на них відсотками наприкінці терміну ренти утворять послідовність n членів
.
Якщо переписати цей ряд в оберненому порядку
,
то видно, що це геометрична прогресія з першим членом – P та знаменником прогресії q=(1+і). Скориставшись формулою суми членів скінченної геометричної прогресії, дістанемо формулу нарощеної суми річної звичайної, постійної ренти
. (1)
Позначимо множник, на який множиться член ренти P, через Sn;i, де індекс (п;і) вказує на тривалість ренти і застосовану ставку відсотків.
Коефіцієнт нарощення ренти матиме вигляд
.
Коефіцієнт Sn;i, – цс нарощена сума ренти, член якої дорівнює 1 грн. У зарубіжній літературі його позначають FVIFA(i;n) — Future Value Interest Factor Annuities — процентний фактор майбутньої вартості аннуїтету. Значення цього множника залежить лише від параметрів n та i. Його знаходять у спеціальних таблицях складних відсотків.
Приклад 1. Створюється фонд, внески вносяться протягом 10 років раз наприкінці року по 100 тис. грн. На зібрані гроші нараховуються відсотки за ставкою 10% річних. Знайти розмір фонду наприкінці терміну.
Дано: P=100 тис грн.; n=10; i=10%=0,1; S–?
Якщо немає можливості скористатися таблицями складних відсотків, то за формулою (1)
Якщо нарахування відсотків проводять m разів на рік на платежі, що вносяться один раз на рік, то при цьому використовується ставка відсотків j/т, де j — номінальна ставка відсотків. Очевидно, платежів з нарахованими відсотками буде в т разів більше, і вони утворять послідовність:
Сума членів цієї зростаючої скінченної геометричної прогресії дорівнюватиме:
. (2)
Приклад 2. Знайти нарощену суму ренти, описаної у прикладі 1, за умови, що відсотки нараховуються щоквартально.
Дано: P=100 тис грн.; n=10; j=0,1; т=4; S – ? Обчислимо: т∙ п=40; j/т=0,1/4=0,025.
За формулою (2)
(грн.)
Результати обчислень нарощених сум у прикладах 1 і 2 показали, що частіше нарахування відсотків збільшує кінцеву суму ренти.
Розглянемо k термінову ренту, тобто коли рівні платежі вносяться k разів на рік.
Якщо сума річного платежу P, то разовий платіж тепер становитиме P/k. Не описуючи процесу нарощення членів такої ренти, запишемо формулу нарощеної суми k термінової ренти, коли відсотки нараховуються один раз на рік
. (3)
Формула (3) може бути використана для k термінової ренти, коли т=1. Якщо число членів ренти k та кількість нарахувань відсотків т протягом року збігаються (k =т), тоді можна використати формулу (1), в якій і замінити на j/т; число років п замінити кількістю нарахувань відсотків за весь термін т∙п, при цьому член ренти дорівнюватиме P/т. Тоді отримаємо формулу
(4)
Якщо періоди ренти
не збігаються з періодами нарахування
відсотків
,
то така рента називається загальною.
Аналогічно до формули (1)
можна вивести для загальної ренти
формулу нарощеної суми
. (5)
Приклад 3. Для створення резервного фонду щорічно виділяють 40 тис грн. На акумульовані засоби нараховуються складні відсотки за ставкою 6%. Визначити загальну суму фонду через 5 років для таких варіантів надходжень та нарахувань відсотків:
а) надходження наприкінці року, нарахування відсотків за півріччя;
б) надходження наприкінці кварталу, нарахування відсотків за півріччя;
в) квартальне надходження і нарахування відсотків.
Дано: P=40000 грн.; n=5; i=j=0,06;
а)
,
;
б)
,
;
в)
/
а) За формулою (2)
.
б) За формулою (5)
.
в) За формулою (4)
.
Як видно з прикладу 3, умови здійснення платежів і нарахування відсотків (їх частота) помітно впливають на розмір кінцевої суми. Наприклад, можна встановити, що рента з умовами (k=1; т=4) дає меншу нарощену суму, ніж з k=4; т=2 при рівних всіх інших умовах.
Приклад 3. Для створення резервного фонду щорічно виділяють 40 тис грн. На акумульовані засоби нараховуються складні відсотки за ставкою 6%. Визначити загальну суму фонду через 5 років для таких варіантів надходжень та нарахувань відсотків:
а) надходження наприкінці року, нарахування відсотків за півріччя;
б) надходження наприкінці кварталу, нарахування відсотків за півріччя;
в) квартальне надходження і нарахування відсотків.
Дано: P=40000 грн.; n=5; i=j=0,06;
а) , ; б) , ; в) /
а) За формулою (2)
.
б) За формулою (5)
.
в) За формулою (4)
.
Як видно з прикладу 3, умови здійснення платежів і нарахування відсотків (їх частота) помітно впливають на розмір кінцевої суми. Наприклад, можна встановити, що рента з умовами (k=1; т=4) дає меншу нарощену суму, ніж з k=4; т=2 при рівних всіх інших умовах.