3. Определение передаточной функции исходной сау, расчет корней характеристического уравнения

Так как обратная связь единична, то , значит

Знаменатель передаточной функции - это характеристический полином системы:

Корни этого полинома определяют вид и параметры переходной характеристики САУ. Решая кубическое уравнение в среде Matlab,

получаем корни:

Так как вещественные части всех корней характеристического уравнения положительные, то можно сделать вывод о том, что система неустойчива.

Кроме того, вещественные части комплексно-сопряженных корней положительны, что говорит о наличии расходящихся колебаний с частотой , периодом , коэффициентом расхождения и декрементом расхождения

4 Z .Расчет и построение частотных характеристик эквивалентной разомкнутой сау: афчх, лачх, лфчх

38.586

g

y

Рис.3. Структурная схема разомкнутой САУ

Разомкнутая САУ (рис.3) – система, не способная контролировать состояние объекта управления, т.е. это САУ без обратной связи. Передаточная функция разомкнутой САУ выглядит следующим образом:

Комплексно-частотная функция имеет вид:

Введём подстановку:

; ; ;

Преобразуем полученное выражение:

; ;

;

Получим АФЧХ:

Уравнение АЧХ:

Уравнение ФЧХ:

Логарифмические частотные характеристики определяют усилительные свойства системы (ЛАЧХ) и сдвиг фазы выходной величины (ЛФЧХ) в логарифмическом масштабе.

ЛАЧХ – модуль комплексной функции АФЧХ с учетом логарифмического масштаба, а ЛФЧХ – аргумент комплексной функции.

Уравнение ЛАЧХ:

Уравнение ЛФЧХ:

Логарифмические частотные характеристики определяют усилительные свойства системы (ЛАЧХ) и сдвиг фазы выходной величины (ЛФЧХ) в логарифмическом масштабе.

ЛАЧХ – модуль комплексной функции АФЧХ с учетом логарифмического масштаба, а ЛФЧХ – аргумент комплексной функции

Построим с помощью пакета MatLabлогарифмические амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ), фазово-частотную характеристику (ЛФЧХ) и амплитудную фазово-частотную характеристику (АФЧХ) для разомкнутой системы. Структурная схема разомкнутой САУ в среде MatLab представлена на рис.4.

Рис.4. Схема разомкнутой САУ в MatLab

Результаты построений представлены на рис.5, рис.6.

Рис.5. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой САУ

Частота сопряжения: рад/с; рад/с

Частота среза:

Запас по фазе на частоте единичного усиления:

Запас по амплитуде:

Рис.6. График АФЧХ разомкнутой САУ

Проверим на идентичность графиков с помощью программ MatLab и Mathcab,тем самым проверим и правильность расчётов.

В носим в программу Mathcab нами полученные ранее уравнения:

• АФЧХ:

• Л АЧХ:

• Л ФЧХ:

Получим графики:

Рис.7. График АФЧХ разомкнутой САУ в программе Mathcab

Рис.8. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой САУ в программе Mathcab

Можем заметить по графикам, что запасы по фазе и по амплитуде идентичны

с найденными значениями с помощью программы MatLab.

Запас по фазе на частоте единичного усиления:

Запас по амплитуде:

Графики в Mathcab и MatLab сходятся, что подтверждает правильность расчётов.

Д алее проверим ЛАЧХ, полученную в MatLab с помощью ручного расчёта.

Рис.9. Схема разомкнутой САУ в MatLab

Распишем все звенья, которые присутствуют в разомкнутой схеме. Это пропорциональное звено, форсирующее звено первого порядка, апериодическое звено первого порядка и апериодическое звено второго порядка. Последнее звено, немного упростим:

Т.к. то можно данное звено заменить на 2 апериодических звена первого порядка.

Запишем все звенья после некоторого преобразования.

Найдём частоты сопряжения:

Можно сразу заметить, что корни характеристического уравнения разомкнутой системы полностью совпадают с найденными частотами. Далее построим асимптотический график ЛАЧХ и сравним его с реальным.

Рис. 10. Сравнение асимптотической и реальной ЛАЧХ

Из графика хорошо видно что асимптотический и реальный график практически сливаются, что говорит о том что все расчёты верны. И анализ звеньев был проведён правильно.

Так как частоты сопряжения находятся вблизи друг друга, проводим моделирование отдельных частей системы для уточнения характера процесса:

Убираем звено, срабатывающее на частоте

Рис.11. ЛАЧХ 1

Убираем звено, срабатывающее на частоте

Рис.12. ЛАЧХ 2

Убираем звено, срабатывающее на частоте :

Рис.13. ЛАЧХ 3

Из графиков хорошо видно, что характеры процессов схожи с графиком апроксимации, что говорит о том что все расчёты верны. И анализ звеньев был проведён правильно.