Логические функции

Любое самое сложное логическое высказывание, в частности, функциональное устройства, электрической цепи и т. д., можно описать, используя три логические операции: сложение (дизъюнкцию), умножение (конъюнкцию) и отрицание (инверсию), — которыми могут быть связаны простые высказывания. В указанном смысле этот набор логических функций называют функционально полным набором или базисом.  Логическое сложение (дизъюнкция) переменных X₁,X₂,...X_n записывается в виде y=X₁+X₂+...+X_n  Значение у = 0 имеет место только при X₁+X₂+...+X_n=0. Е Если хотя бы одно слагаемое равно единице (X_i = 1 событие наступило), то у = 1. Сумма наступивших событий (X₁ + X₂ + ...., где X₁ = 1, X₂ = 1, ....) означает наступления события, т. e. При любом числе слагаемых, равных единице, сумма равна единице: у = 1, если X₁ = 1, или X₂ = 1 или X_i = 1,или все переменные X равны единице. Этим объясняется ещё одно название рассматриваемой операции — операция ИЛИ.  Таблица истинности операции ИЛИ двух переменных приведёна ниже: 

В каждой строке таблице записаны значения переменных X₁ и X₂ и соответствующие им функции у. В общем случае n двоичных переменных дают 2ⁿ сочетаний. Кроме знака «+» дизъюнкция обозначается знаком «V»: у = X₁VX₂....V X_n. Элемент, выполняющий дизъюнкцию, называется дизъюнктором или элементом ИЛИ.  Условные обозначения зарубежных и отечественных элементов ИЛИ показаны на рисунке 

Логическое умножение (конъюнкция) переменных записывается в виде у = X₁ X₂ .... X_n. Из приведённого выражения следует, что если хотя бы одна из переменных равна нулю, то функция ровна нулю. Только в том случае, когда х₁ = 1, И х₂ = 1, И ..., И x_n = 1, y = 1. Поэтому данная операция называется также операцией И.  Таблица истинности операции И двух переменных показана на рисунке: 

Кроме приведённой встречается следующая форма записи конъюнкции: X₁ΛX₂Λ...X_n  Элемент, выполняющий конъюнкцию, называется конъюнктором или элементом И.  Условные обозначения зарубежных и отечественных элементов И показаны на рисунке: 

Логическое отрицание (инверсия) записывается в виде у = X и называется также операцией НЕ. Читается «у НЕ х». Таблице истинности операции НЕ показана на рисунке: 

Элемент, выполняющий инверсию, называется инвертором или элементом НЕ. Условные обозначения зарубежных и отечественных элементов НЕ показаны на рисунке: 

Логические элементы и-не, или — не, исключающие или

Функционально элемент И-НЕ представляет собой совокупность конъюнктора и инвертора: 

Элемент ИЛИ — НЕ представляет собой совокупность дизъюнктора и инвертора: 

Под функцией исключающее ИЛИ понимается следующее: единица на выходе появляется тогда, когда только на одном входе присутствует единица. Таблица истинности и обозначения (зарубежные и отечественные) приведены ниже: 

Вход 1 Вход 2 Выход 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Надпись «=1» обозначает, что выделяется ситуация когда на входах одна и только одна единица. С точки зрения математики элемент исключающее ИЛИ выполняет операцию суммирования по модулю 2. Поэтому эти элементы также называются сумматорами по модулю два.