Спектральная плотность мощности и корреляционная функция случайного процесса на выходе линейной цепи

Спектральная плотность мощности на выходе определяется аналогично тому, как это делалось при определении спектра выходного детерминированного сигнала.

Если входной сигнал обладает спектром мощности W_вх( ), то на выходе сигнал будет иметь спектральную плотность мощности

W_вых ( )=W_вх( ) H²( ).

Корреляционную функцию определим как обратное преобразование Фурье

Аналогичные записи можно провести на основе знания импульсной характеристики цепи. Поскольку спектральной функции W_вх() соответствует корреляционная функция

а спектральной функции H²( ) соответствует

                    

то произведению W_вх() H²() соответствует свертка

                    

и

В случае белого шума на входе с W_вх( )=W₀ имеем W_вых( )=  W₀H², а

                    

Это же выражение можно применить и для случая, когда спектральная плотность мощности случайного стационарного процесса на входе цепи равномерна лишь в полосе прозрачности цепи.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную форму, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в § 2.6 или 2.1, по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при ) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.

Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте . Размерность функции , являющейся отношением мощности к полосе астот, есть

Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Применительно к шумам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.3. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера.

Выделив из ансамбля какую-либо реализацию и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность (со). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.66):

Разделив эту энергию на получим среднюю мощность k-й реализации на отрезке Т

При увеличении Т энергия возрастает, однако отношение стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход получим

где

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматриваемой реализации.

В общем случае величина должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция характеризует весь процесс в целом.

Опуская индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса

где

Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением то спектральную плотность следует представить в форме

где — сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а - дельта-функция.

При интегрировании по первое слагаемое в правой части дает т. е. мощность постоянной составляющей, а второе — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию

Для процесса с нулевым средним

Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно, что является четной и неотрицательной функцией .

Ковариационные функции. Частным случаем корреляционной функции является функция автоковариации (ФАК), которая широко используется при анализе сигналов. Она представляет собой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной функции X(t)-m_x(t) в моменты времени t_i и t_j и характеризует флюктуационную составляющую процесса: K_Х(t_i, t_j) = (x(t_i)-m_x(t_i)) (x(t_j)-m_x(t_j)) p(x_i,t_j; x_i,t_j) dx_i dx_j, (9.1.8) В терминах теории вероятностей ковариационная функция является вторым центральным моментом случайного процесса. Для центрированных случайных процессов ФАК тождественна функции автокорреляции. При произвольных значениях m_x ковариационные и корреляционные функции связаны соотношением: K_X) = R(t, t+_X) - m(t, t+_x²(t). Нормированная функция автоковариации (функция корреляционных коэффициентов): _Х) = K(t,t+_X)]. (9.1.9)(t+(t))/[(t,t+ Функция корреляционных коэффициентов может принимать значения от +1 (полная статистическая корреляция случайных процессов на интервалах t и ) до -1 (полная статистическая противоположность процессов на этихt+ интервалах). Попутно отметим, что в математической статистике, а также довольно часто и в технической литературе, эту функцию называют функцией = 0 значение корреляции. При _Х равно 1, а ФАК вырождается в дисперсию случайного процесса: K_X(t) = D_X(t). Отсюда следует, что для случайных процессов и функций основными характеристиками являются функции математического ожидания и корреляции (ковариации). Особой необходимости в отдельной функции дисперсии не имеется. Рис. 9.1.7. Реализации и ковариационные функции случайных процессов. Примеры реализаций двух различных случайных процессов и их нормированных ковариационных функций приведены на рис. 9.1.7. Свойства функций автоковариации и автокорреляции. = 0= 0. Это очевидно, т.к. при 1. Максимум функций наблюдается при вычисляется степень связи отсчетов с собой же, которая не может быть меньше связи разных отсчетов. Значение максимума функции корреляции равно средней мощности сигнала. 2. Функции автокорреляции и автоковариации являются четными: R_X) = R(_X. Говоря иначе, моменты двух случайных величин X(t)X(t) при t = t-) = X(t-). Последнее также очевидно: X(t)X(t+(-₁) и X(t₂) не зависят от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, и соответственно симметричны относительно своих аргументов: R_x(t₁, t₂) = R_x(t₂, t₁). значения ФАК для сигналов, конечных по энергии, стремятся к3. При нулю, что прямо следует из физического смысла ФАК. Это позволяет ограничивать длину ФАК определенным максимальным значением _max - радиусом корреляции, за пределами которого отсчеты можно считать независимыми. Интегральной характеристикой времени корреляции случайных величин обычно считают эффективный интервал корреляции, определяемый по формуле: T_k = |_x (1/K )| d(_x(0)) |K_x. (9.1.10))| d( Отсчеты (сечения) случайных функций, отстоящие друг от друга на расстояние большее T_k, при инженерных расчетах считают некоррелированными. 4. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайную функцию f(t), то ковариационная функция не изменяется. Обозначим новую случайную функцию как Y(t)=X(t)+f(t). Функция математического ожидания новой величины: = + f(t). Отсюда следует, что Y(t) - = X(t) - , и соответственно K_y(t₁,t₂) = K_x(t₁,t₂). 5. Если случайную функцию X(t) умножить на неслучайную функцию f(t), то ее корреляционная функция R_x(t₁,t₂) умножится на f(t₁f(t)₂). Обоснование данного свойства проводится по методике, аналогичной предыдущему пункту. 6. При умножении функции случайного процесса на постоянное значение С значения ФАК увеличиваются в С² раз.