1.2. Действия над векторами, заданными своими координатами

1.2.1. Если вектор задается точками с соответствующими координатами: А( ) и B( ), то координаты вектора вычисляются как разность соответствующих координат конечной и начальной точек: ( ).

1.2.2. Длина вектора вычисляется по формуле

.

1.2.3. При сложении или вычитании векторов складываются или вычитаются их одноименные координаты

.

.

1.2.4. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число

.

1.2.5. Два вектора и коллинеарны, если пропорциональны их соответствующие координаты

или

.

1.2.6. Скалярное произведение двух векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними

Если векторы заданы координатами, то

.

1.2.7. Скалярное произведение вектора самого на себя (скалярный квадрат вектора)

.

1.2.8. Если векторы перпендикулярны, то

.

Свойства скалярного произведения

1) ;

2) ;

3) .

1.3. Векторный базис

Базисом в пространстве называются три любых некомпланарных вектора _{, , ,} взятых в определенном порядке.

Любой четвертый вектор можно представить единственным образом в виде линейной комбинации векторов базиса

= х_а + у_а + z_а ,

где х_а, у_а, z_а называются координатами вектора в базисе _{, ,} .

Базис _{, ,} называется ортонормированным, если векторы _, и попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения

= _, = _, = .

Векторы _{, ,} называются ортами.

П роекцией вектора на вектор называется число , где φ – угол между векторами и . Проекции вектора на базисные орты _{, ,} есть координаты вектора х_а, у_а, z_а.

Косинусы углов, которые образует вектор с положительными направлениями координатных осей, называются направляющими косинусами.

Рисунок 1 – Направляющие косинусы

Они вычисляются по формулам

; ; .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением векторов называется третий вектор , длина которого . Вектор перпендикулярен векторам , и направлен так, что тройка векторов , , – правая.

Пусть , , упорядоченная, некомпланарная тройка векторов. Говорят, что они образуют правую тройку, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко вторму вектору виден против часовой стрелки.

Свойства векторного произведения

1) ;

2) ;

3) .

Векторное произведение вычисляется по формуле

.

Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах

.

Если векторы коллинеарны, то

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведением векторов называется векторное произведение, умноженное скалярно на третий вектор

.

Смешанное произведение векторов вычисляется как определитель, составленный из координат этих векторов

.

Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю

.

Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах

.

Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах , вычисляется по формуле

.

2. Образец выполнения контрольного задания по модулю «векторная алгебра»