3. Детермінований еквівалент лотереї. Страхова сума

Поняття детермінованого еквівалента лотереї L є одним з основних при розгляді різних характеристик ризику та їхнього взаємозв’язку з функціями корисності.

Детермінований еквівалент лотереї L — це гарантована сума , отримання якої еквівалентне участі в лотереї, тобто  L. Отже, визначається з рівняння:

U( ) = M(U(Х)), або = U ^{– 1}(M(U(Х))),

де U ^{– 1} () — функція, обернена до функції U(x).

Сподіваний виграш та детермінований еквівалент, що їх визначено вище, стосуються лотереї із скінченним числом можливих виграшів. Якщо можливі виграші описуються щільністю розподілу f(x), то сподіваний виграш у цій лотереї дорівнює:

а детермінований еквівалент можна знайти із співвідношень:

.

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента, взяту з протилежним знаком:

CC(Х) = – .

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента із протилежним знаком:

CC(Х) = – .

Премія за ризик. Приклади

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) (Х) — це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (уступити її) з середнього виграшу щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю. Тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу.



!!!Зауважимо: Для зростаючих функцій корисності величину премії за ризик (Х) в лотереї L покладають рівною різниці між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом, тобто

Приклад 1. Нехай U(x) = a + bx, b > 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю, що має щільність розподілу f(x). Необхідно відшукати сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик.

Розв’язання. Сподіваний виграш знаходимо за формулою :

Детермінований еквівалент знаходимо з рівняння:

U( ) = M(U(Х)).

Оскільки , , то .

Отже, для лінійної функції корисності премія за ризик (Х) = – – = 0.

Приклад 2. Нехай U(x) = а – be^–cx, де а > 0, b > 0, c > 0, x  0 (рис.1). Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L(x₁, p; x₂, q), p + q = 1. Відшукати сподіваний виграш та детермінований еквівалент .

Розв’язання. Сподіваний виграш .

Детермінований еквівалент є розв’язком рівняння U( ) = = M(U(Х)) або з рівнозначного рівняння:

Якщо покласти х₁ = 80, х₂ = 100, с = 2, р = 0,7, q = 0,3, то отримуємо:

Премія за ризик (Х) = 86 – 80,2 = 5,8._-

Рис. 1. Графік функції корисності U(x) = a – be^{– cx}

Нехай лотерея _L приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями і відповідними корисностями .

Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою: .

Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою: .

Корисність результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

4. Різне ставлення до ризику та корисність: несхильність, схильність та Байдужість до ризику

Особу, яка приймає рішення, називають несхильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є можливість одержати гарантовано сподіваний виграш у лотереї, аніж брати в ній участь.

З попереднього відомо, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Отже, умова несхильності до ризику записується як

U(M(X)) > M(U(X)).

 Твердження 1. Особа, яка приймає рішення, не схильна до ризику тоді і тільки тоді, коли її функція корисності опукла вгору.

Особу, яка приймає рішення, називають схильною до ризику, якщо для неї більш пріоритетною є участь у лотереї, ніж можливість одержати гарантовано сподіваний виграш.

Отже, умова схильності до ризику записується як

U(M(X)) < M(U(X)).

 Твердження 2. Особа, яка приймає рішення, схильна до ризику в тому i тільки в тому випадку, коли її функція корисності опукла вниз.

Рис. 2. Функція корисності особи, несхильної до ризику

Рис. 3. Функція корисності особи, схильної до ризику

ФУНКЦІЯ СХИЛЬНОСТІ-НЕСХИЛЬНОСТІ ДО РИЗИКУ

При різних рівнях доходу (багатства) ставлення людини до ризику може змінюватись. Досить реалістичною гіпотезою для широкого кола суб’єктів є схильність до ризику при невеликих сумах (відносно загального достатку) та несхильність при значних сумах. Графічно ця гіпотеза зображена на рис. 3.

Рис.4. Функція схильності-несхильності до ризику (С-НСР)

ВИСНОВОК: У загальному випадку ОПР може бути як схильною до ризику, так і несхильною до ризику, в залежності від суми ризику. У цьому випадку відповідна крива корисності матиме вид подовженої букви S.

X - ОПР несхильна до ризику (обережна), оскільки проявляє більшу чутливість до втрати, ніж до прибутку.

Рис. 5. Функція корисності для ОПР, несхильної до ризику

Ця функція має такі властивості

1. Функція корисності для ОПР, несхильної до ризику не спадна, тому що больша кількість грошей завжди привабливіша меншої кількості.

2 . ЇЇ графік опуклий вгору (вигнутий). Це означає, що відносна корисність грошей не зростає.

Рис. 6. Функція корисності для ОПР, несхильної до ризику

Нехай у вас є 200 грн. и ви отримали з якогось джерела ще 100 грн.. У такому випадку корисність грошей зросте на величину

U(300) - U(200) =

Якщо ж Ви маєте 200 грн. і Ви втратите 100 грн., то в цьому випадку корисність зросте на величину

U(200) - U (100) ==

Таким чином, 100 отримання додаткових грн. для ОПР, несхильної до ризику, менше привабливі (важливі), ніж втрата 100 грн;

тобто: для ОПР, несхильної до ризику, менше привабливіший (важливіший) виграш, ніж програш. На програш ОПР, не схильна до ризику, звертає значно більше уваги.

ОТЖЕ: для неї пріоритетнішим є одержання гарантовано сподіваного виграшу у лотереї, аніж участь у ній.

б) ОПР Z - _ протилежність у цьому відношенні ОПР X; вона схильна до ризику (налаштована на ризик).

Ця функція має такі властивості