2.2 Классическое определение вероятности

Для практической деятельности важно уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Очевидно, события: «выпадение дождя» и «выпадение снега» в первый день лета в данной местности, «выигрыш по одному билету» и «выигрыш по каждому из п приобретенных билетов» лотереи — обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная мера.

Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, то есть единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называются элементарными исходами (элементарными событиями), а их совокупность – пространством (множеством) элементарных событий.

Пусть общее число исходов испытания равно . Пусть среди них исходов благоприятствуют некоторому событию (влекут за собой появление события ), которое может произойти (а может и не произойти) в результате испытания.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов полной группы

Пример. Бросается шестигранная игральная кость. Необходимо составить пространство элементарных событий и определить вероятность выпадения четного числа очков.

Решение. Пусть событие А – выпадение четного числа очков.

Пространство элементарных событий образуют события

,

обозначающие выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков.

Общее число исходов

.

Благоприятствующих исходов три. Это события .

Согласно классическому определению

Отметим свойства вероятности события.

1. Вероятность любого события удовлетворяет неравенству

2. Вероятность достоверного события равна единице.

3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойства очевидны, так как Р(А) = т/п, а число т благоприятствующих событий для любого испытания удовлетворяет неравенству 0 <= т <= п , причем, для достоверного события оно равно п (т=п) и для невозможного события равно нулю (т =0).

События, вероятности которых очень малы (близки к нулю) или очень велики (близки к единице), называются соответственно практически невозможными или практически достоверными событиями

2.3 Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, то есть сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения. В первую очередь это события, которые не являются равновозможными исходами испытания. Например, если монета сплющена, то, очевидно, события «выпадения герба» и «выпадение решки» нельзя считать равновозможными, и классическая формула для расчета вероятности любого из них окажется неприменима.

Но есть и другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в п произведенных испытаниях, то есть

где — статистическая вероятность события А;

— относительная частота появления события А;

т — число испытаний, в которых появилось событие А;

п — общее число испытаний.

В отличие от «математической» вероятности Р(А), рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р(А) является характеристикой опытной, экспериментальной.

Число испытаний, в результате которых появляется событие А, должно быть достаточно велико, ибо только в этом случае можно считать вероятность события Р(А) приближенно равной ее относительной частоте.