Основные этапы в развитии математики гармонии
Как упоминалось, для обозначения наиболее характерной особенности пифагорейской математики (проблема гармонии) был введен очень удачный термин «математика гармонии» [1, 2]. При этом наибольший интерес к «математике гармонии», то есть, к идеям Пифагора, Платона и Евклида, всегда проявлялся в периоды наивысшего расцвета «человеческого духа». В развитии «математики гармонии» можно выделить следующие важнейшие периоды.
Древнегреческий период
Условно можно считать, что этот период начинается с исследований Пифагора и Платона. Завершающим событием этого периода являются «Начала» Евклида . По мнению Прокла, одного из первых греческих комментаторов Евклида, Евклид создавал «Начала» с целью дать полную геометрическую теорию пяти «Платоновых тел», которые ассоциировались в древнегреческой науке с «гармонией Мироздания». При этом он попутно осветил некоторые новейшие достижения математики и ввел в рассмотрение «золотое сечение», которое было использовано Евклидом при создании геометрической теории «Платоновых тел».
Эпоха Возрождения
Этот период связан с именами таких выдающихся личностей этой эпохи, как Пьеро делла Франческа (1412—1492), Леон Баттиста Альберти (1404—1472), Леонардо да Винчи (1452—1519), Лука Пачоли (1445—1517), Иоганн Кеплер (1571—1630) . Именно в этот период появляются две книги, которые в наибольшей степени отражали идею «гармонии Мироздания». Первая из них — это книга «Divina Proprtione» («Божественная Пропорция») (1509), написанная выдающимся итальянским математиком и ученым монахом Лукой Пачоли под непосредственным влиянием Леонардо да Винчи. Вторая книга — это книга Иоганна Кеплера «Harmonices Mundi» («Гармония мира») (1619).
Морис Клайн в своей книге «Математика. Утрата определенности» (1984) [8] подчеркивает причину, по которой религия поддерживала идею математического исследование гармонии как воплощение в Природе Божественного промысла: «Бог вложил в мир строгую математическую необходимость, которую люди постигают лишь с большим трудом, хотя их разум устроен по образу и подобию божественного разума. Следовательно, математическое знание не только представляет собой абсолютную истину, но и священно, как любая строка Священного Писания. Исследование природы — занятие столь же благородное, как и изучение Библии».
19-й век
Этот период связан с работами французских математиков Жака Филлипа Мари Бине (1786—1856), Франсуа Эдуарда Анатоля Люка (1842—1891), немецкого поэта и философа Адольфа Цейзинга (род. в 1810 г.) и немецкого математика Феликса Клейна (1849—1925). Именно в этот период Люка ввел название «числа Фибоначчи» для обозначения рекуррентной числовой последовательности, введенной известным итальянским математиком Фибоначчи при решении «задачи о размножении кроликов», а также ввел в рассмотрение «числа Люка». Бине ввел в рассмотрение так называемые «формулы Бине», связывающие числа Фибоначчи и Люка с «золотой пропорцией». Феликс Клейн в 1884 г. опубликовал книгу «Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени» [9], посвященную геометрической теории икосаэдра и ее приложениям в математике. Согласно Клейну, ткань математики широко и свободно разбегается листами отдельных теорий. Но есть объекты, в которых сходятся несколько листов, — своеобразные точки ветвления. Их геометрия связывает листы и позволяет охватить общематематический смысл разных теорий. Именно таким математическим объектом, по мнению Клейна, является икосаэдр. Клейн трактует икосаэдр как математический объект, из которого расходятся ветви пяти математических теорий: геометрия, теория Галуа, теория групп, теория инвариантов и дифференциальные уравнения. Таким образом, главная идея Клейна чрезвычайно проста: «каждый уникальный геометрический объект так или иначе связан со свойствами икосаэдра».