4.3. Выделение областей существования режима в пространстве полных мощностей

Указанные выше патологические особенности области су­ществования режимов, рассматриваемой как образ Т₆у(К_Е, возникают в определенной степени вследствие неограничен­ных пределов изменения напряжений узлов. По техническим условиям такие пределы изменения напряжений недопусти­мы, они не представляют интереса и по условиям разреши­мости уравнений. Поэтому в дальнейшем ограничимся мно­жеством значений

1Л„£Лв, '=> 1, 2, ..., п. (4.7)

В качестве £/_гв можно принять, например, 1,2 t/_H0M, а f/iH=0,85 t/ном, где и_нош—номинальное напряжение сети для данного узла. При этом множество, на котором рассматри­вается отображение (4.2), становится компактным, а воз­можные полости внутри области существования режимов бу­дут возникать не вследствие стремления к нулю напряже­ний, а из-за малых проводимостей ветвей электрической се­ти. При условиях (4.7) отображение (4.2) будет давать ком­пактный образ, т. е. множество режимов системы в простран­стве мощностей {5} будет ограниченным замкнутым множе­ством. Это множество будет заключено в параллелепипеде

Рi=E_iB²y_u sin Gtu-|- 2 E_iBE_hBy_ik,

Pi—E_iu²yu sin an— 2 E_iBE_hBy_ik,

ЬфГ

Qi⁼⁼⁼ Eхъ"Ун cosua 2 E_iHE_kHy_lh, Qi—E_iB²yu cos da 2 Е{_ВЕ_къу_1ку

k Ф i

b —— 1 у 2 у • m • у /2 •

Здесь E_n+i_n=E_n+lB=E_n+i и все они равны заданному на­пряжению балансирующего узла сети.

Перейдем к выделению области существования режимов с нормальными уровнями напряжения из всего пространства. Для этого воспользуемся опять линейными комбинациями мощностей. Обозначим

п

L (Я, Е, б) = 2 ^[Еруи sin а«+ 2 EiE_hy_ih sin (6<—6_А— a_ih) ] +

/=i k-t i

п

+ 2 Кр[Е_{²уц cos а«— 2 E_{E_hy_ih cos(бг—8_k—a_ih) ]. (4.8)

t=1 кФi

Пусть

М(К)= sup L(X, Е, б), т{1)= inf L(X, Е, б).

{&, Е) _ {5, Е}

При заданных X_ia, X_ip значения М(Х), т(Х) могут быть по­лучены каким-либо методом отыскания абсолютного экстре­мума.

Теорема 4.1. Если существует вектор %_2ау ...Д

hp, hр> ^пр} такой, что нарушается условие тк

s;

^ 2 {XtaPi+hpQi) ^М(Х), то система (4.2) для таких Р_и Q_t

не имеет решений.

Доказательство. Предположим противное, т. е., что реше­ние системы (4.2) существует, хотя нарушается указанное в теореме неравенство, а именно для определенных X_ia, hp выполняется, например, неравенство

2 (XiaPi + hpQi)>M(%).

i = 1

Пусть это решение дает напряжения Е\_в, Е₂..., Е_Пш, 6i_e, Тогда

= У и ^sin % + ^ У* ^sin ~~ ^б**

ki i

Qi = ^ У« COS а„ - 2 У(к ^cos (^б/* — ⁸** - *ik)

па,

кф1

и

2 (X_iaPi+hpQi)=L(^fk_} 6_#)<supL(Jc, E, 6)=Ж(Я).

«

Это противоречит тому, что 2 '(W^+^pQi) >М(Я).

г — 1

Полученное противоречие показывает, что предположе­ние о существовании решения неверно. Теорема доказана.

4.4. Оценки наибольших и наименьших значений линейных комбинаций мощностей. Построение многогранников, содержащих область существования режима

Рассмотрим

п

L(k, Е, б) = 2 (Я_га sin cos ац)Е2уц-\-

i = 1

л-fl

+ 2 1 2 ^^[Яга sin (бг—-б_А—a_ift) —Xip COS (б*—б_А—a_ift) ] =

i= 1

п

= 2 (Яга sin агг+Ягр cos а«) Е_{²уц-\-

z = 1

+ 2 {sin (6,—б_А) [cos Ял,) —

i<k

—sin a_ik (X_ip—X_hP) ] —cos (б_г-—\8_k) [cos а_Л(Я<р+Я_Лр) +

+sin а_Л(Я_й1+Л_Аа)]} =

n

= 2 (Яга sill aii + Ягр COS ац)Е?Уа-\- i = 1

+ 2 EiEjjjiftX

i<k

XV[cos а_Л(Яй—Я*,)—sin а_г71(Ягр—Я_йр)]²+

+ [cosaift(X_ip+^_ftp)+sin a_ih{Xia+X_ka)]²*sm(6i—8_k—@_ik),

где

Q ___ _arcjg tee***^ ^д) + + ^kp)

tg a/* (Kka — Я/а) ~ (Яд_я — Я/а) Преобразуя выражение под радикалом, лолучим '[cos ад(Яш—(Я_Аа) —Sin a_ik(Я_гР—Я_АР) ]²+ + [cos а_л(Я<р+Яйр) +sin Я_Аа) ]²=

= Я_га²-|-Ягр²-|-₍Я_Аа²-ЬЯ_Ар² \2 (Я_гаЯ_Аа Я_грЯ_Ар) COS 2 ОСifc-f"

+'2 (Я_гаЯ_Ар-)-Я_АаЯгр) sin 2а_гЛ,

п

Ь(Я, б) = 2 (Яга5тагг+Я_{рС08а«)£'г²У«+

/=1

+ 2 Е^ъуф^+Х^+Ка'+К²—2 (haha—hvhp) cos 2а_л+"

i<k

(kialkP+hakp) sin 2a_ik • sin (6,—8_k—Q_ih) (4.9)

Теперь, заменяя sin (Si——в<_л) на ±1, a ^ на £_гв, мож­но получить оценку наибольшего и наименьшего значений

L{X, Е, б):

Е, б(4.10)

где

М (X) = 2 E_iBE_kBy_ik')/Xia²-{-'kip²-^r'k_ka²-{-'k_hp² 2 (KiaXha XipX_hp) X

i<k

"""Xcos 2a_ik-\-2(kiaKp-^rKahip) sin 2a_ift+

+2 Sin ia«+^_fp 'COS a«) Я²^. (4.11)

i

На основе проведенной оценки можно сформулировать конструктивный признак неразрешимости системы.

Теорема 4.2. Признак неразрешимости уравнений уста­новившегося режима электрической системы. Если сущест­вует ненулевой вектор

hip, X₂p, Я_пр},

такой, что

| S (ktaPi+bipQi)\>M(K),

i — 1

то при заданных Р_г, уравнения установившегося режима системы не имеют действительных решений: при таких зна­чениях мощностей установившийся режим системы не суще­ствует при уровнях напряжений Е_{я^Е^Е_1ъ (i= 1, 2, ..., п).

Построение выпуклого многогранника, содержащего об­ласть существования режимов.

Пусть —< набор неколлинеарных векторов

№ = Д Я,₂Л

а Mi — соответствующие им постоянные, определенные для Ei=E_iB. Тогда область существования режимов содержится внутри выпуклого многогранника, определяемого неравенст­вами

i = 1

—Ai₂< £ (XiaWPi+XipWQi) ^M₂, (4.12)

—2 (W^r^+W^r)Q<) i=1

Поскольку для Mi i(i= 1, 2, г) имеем явные выражения, легко определяемые непосредственной подстановкой пара­метров, то полученные неравенства позволяют просто выде­лить из всего пространства множество существования режи­мов. Эти оценки можно улучшить, если вместо М_и —М_{ в неравенства, определяющие грани многогранника, подставить соответственно

supL(A,, Е, 6), infL(A,, Е, б). Тогда получим многогранник

т^ 2 (h«MP_k+X_kPUQ_k) <Jif„ (4.13)

■ 1,2,..., к.

Этот многогранник содержится внутри многогранника (4.12) и сам содержит область существования решения. Однако оп­ределение постоянных т_г, Ж* — значительно более трудоем­кая операция, требующая .применения ЦВМ. _

Разработка эффективных методов вычисления М_и т_{ или более точных оценок их представляет задачу большой прак­тической значимости.