1. Решение задач

Задание 2. Составить математическую модель однопродуктовой фирмы с учетом отчисляемого фирмой налога, если налог взимается в размере t д.е. с единицы реализованной продукции.

1. Определить объем оптимального выпуска в зависимости от размера налоговой ставки. Построить график этой зависимости.

2. Получить зависимость максимальной прибыли от размера налоговой ставки. Построить график этой зависимости.

3. Определить точку замирания деловой активности фирмы.

4. Составить математическую модель получения государством дохода от взимания налога с рассматриваемой фирмы. Определить размер оптимальной налоговой ставки. Сравнить ее с точкой замирания деловой активности.

Построить кривую Лаффера.

C(Q) = Q² +6 Q +10, P(Q) = 90 – 5Q;

Решение:

1.) Поскольку доход от продажи продукции в объеме Q единиц определяется соотношением R(Q) = P * Q имеем:

R(Q) = (90 – 5Q)*Q = 90Q – 5Q².

Прибыль в зависимости от налога, ставка которого равна t д.е. определяется следующим образом:

Тогда функция прибыли определяется соотношением:

= 90Q – 5Q² - Q² - 6 Q -10 - tQ = - 6Q² + 84Q – 10 – tQ

Для того чтобы определить объем оптимального выпуска в зависимости от размера налоговой ставки найдем производную от :

;

t = 12Q + 84;

=

2.) Зависимость максимальной прибыли от размера налоговой ставки

=

Вершина M (84; -10)

3. В точке замирания деловой активности прибыль равна 0. Найдем точку, в которой прибыль равна 0.

Итак, точка замирания деловой активности

3. Математическую модель получения государством дохода от взимания налога с рассматриваемой фирмы задается следующим уравнением:

Графиком этой функции является парабола (теоретическая кривая Лаффера).

Вершина параболы M (42;147)

Максимум функции достигается в точке

Следовательно, оптимальная налоговая ставка меньше значения налоговой ставки в точке замирания деловой активности . При увеличении налога на 26,51 единицу производство перестанет получать прибыль.

Задание 4.

1. Построить изокванты производственной функции Q =F(K,L).

2. Вычислить предельную производительность каждого из ресурсов.

3. Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции в количестве F(K,L) = Q_{0 .}

4. Определить минимальный объем затрат необходимых для этого выпуска. Вычислить используемые для этого объемы ресурсов.

Q = 15 K^1/2L; Q₀ = 240; P_K = 4; P_L = 4; ;

Решение:

1. Построить изокванты производственной функции Q =F(K,L).

Q = 15 K^1/2L

Преобразовав уравнение производственной функции, получаем .

Так как Q₀ = 240, то ;

На графике изображено несколько изоквант при разных Q _.

Изокванта Q=240 изображена красным цветом.

2.) Вычислить предельную производительность каждого из ресурсов.

Предельные производительности факторов определяются как соответствующие частные производные:

;

(15 K^1/2L)`<sub>k</sub> = ; (15 K<sup>1/2</sup>L)`_L = 15

3.) Составить математическую модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции.

Математическая модель фирмы, использующей два вида ресурсов для выпуска одного вида продукции:

4.) Определить минимальный объем затрат необходимых для этого выпуска. Вычислить используемые для этого объемы ресурсов.

Необходимо создать систему уравнений для решения данной задачи:

Из этого следует, что минимальный объем капитальный ресурсов К = 4,

а минимальный объем трудовых ресурсов L = 8.

Минимальный объем затрат, необходимый для выпуска продукции находится по формуле: C (K,L) = P_KK+P_LL.

Подставляя формулу найденные значения, находим С = 4*(8+4)=48 д.ед.

Задание 5. Составить математическую модель двухпродуктовой фирмы и сформулировать задачу принятия решения.

1. Определить оптимальный объем выпуска, то есть объемы продукции, при которых достигается максимальная прибыль. Для полученных объемов вычислить издержки фирмы.

2. На плоскости Q₁OQ₂ построить линию постоянных издержек C(Q₁,Q₂) =C₀ и множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме C = C₀ (C(Q₁,Q₂)  C₀)

3. Определить возможность выпуска оптимального объема продукции при заданном ограничении на издержки C = C₀.

4. Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят C = C₀.

Заданы функция полных издержек двухпродуктовой формы C = C(Q₁,Q₂), где Q₁ и Q₂– объемы выпуска товаров первого и второго видов соответственно, функции спроса P₁ = P₁(Q₁), P₂ = P₂(Q₂) на эти товары и ограничение на полные издержки C(Q₁,Q₂)  C₀:

C (Q₁,Q₂) = Q₁ +2Q₂ +2, P₁(Q₁) =15  Q₁, P₂(Q₂) =40 Q₂, C₀ =72

Решение:

1. Определить оптимальный объем выпуска, то есть объемы продукции, при которых достигается максимальная прибыль. Для полученных объемов вычислить издержки фирмы.

Полная прибыль фирмы определяется уравнением:

Найдем стационарные точки функции прибыли. Необходимое условие экстремума функции:

Достаточное условие экстремума функции прибыли

где = -2

Показывает, что стационарная точка является точкой максимума функции.

Итак, оптимальный объем выпуска продукции, при котором достигается максимальная прибыль в точке (7;19).

Для того, чтобы вычислить издержки фирмы, подставим значения в функцию полных издержек фирмы.

C (Q₁,Q₂) = Q₁ +2Q₂ +2 = 7 + 2*19 + 2 = 47.

Таким образом, издержки фирмы равны 47 д.ед.

2.) На плоскости Q₁OQ₂ построить линию постоянных издержек C(Q₁,Q₂) =C₀ и множество производственных возможностей, ограниченное издержками производства в объеме C = C₀ (C(Q₁,Q₂)  C₀)

Линия постоянных издержек C(Q₁,Q₂) =C₀

Q₁ +2Q₂ +2 = 72;

Q₁ +2Q₂ = 70;

3.) Определить возможность выпуска оптимального объема продукции при заданном ограничении на издержки C = C₀.

Как мы видим, точка оптимального выпуска (7;19) входит в множество производственных возможностей фирмы.

3. Определить, при каких объемах выпуска продукции достигается максимум прибыли, если полные издержки не превосходят C = C₀.

В пункте (1) оптимальный объем выпуска, при котором, при котором достигается максимальная прибыль:

C (7,19) = Q₁ +2Q₂ +2 = 7 + 2*19 + 2 = 47.

Так С = 47 не превосходит C₀ = 72, то и будут ответом нашей задачи.

Задание 6.

1. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более M д.ед.

2. Построить линии безразличия функции полезности U = U(X,Y) потребителя двух товаров. Функция полезности и значение полезности U(X,Y) = U₀ приведены в приложении 6.

3. Составить математическую модель потребителя двух товаров. Определить оптимальный объем покупки для заданной функции полезности и ограничении на бюджет.

4. Вывести уравнения функций спроса на первый и второй товары. Построить кривые, отражающие зависимость спроса от цен на товары и от дохода потребителя.

5. Определить минимальный объем компенсации дохода при увеличении цены на первый товар на одну денежную единицу необходимого:

а) для сохранения объема покупки на прежнем уровне;

б) для сохранения получаемой полезности на прежнем уровне.

Сравнить полученные результаты.

Заданы функция полезности U = U(Q₁,Q₂) двух видов товаров; цены на эти товары P₁ и P₂ и ограничение на доход потребителя этих товаров P₁ Q₁+ P₂Q₂  M

U = 10Q₁^1/2Q₂; P₁ = 5; P₂ = 8; M = 60; U₀ = 60

Решение:

1. Построить бюджетное множество, которое отражает покупательные возможности потребителя двух товаров, если на приобретение этих товаров расходуется не более M д.ед.

Бюджетное множество задается системой неравенств:

Для моей фирмы бюджетное множество будет выглядеть так:

2. Построить линии безразличия функции полезности U = U(Q₁,Q₂) потребителя двух товаров.

Линии безразличия – значения функции полезности при определенных значениях U_0.

; U₀ = 60

На данном графике изображено несколько линий безразличия при разных U_0.

Линия безразличия при U = 60 изображена красным цветом.

3. Составить математическую модель потребителя двух товаров. Определить оптимальный объем покупки для заданной функции полезности и ограничении на бюджет.

Заданы функция полезности и ограничения на бюджет:

P₁ = 5; P₂ = 8; M = 60; U = 10Q₁^1/2Q₂

Найдем

= (10Q₁^1/2Q₂)`_Q1 =

= (10Q₁^1/2Q₂)`_Q2 =

Решим систему:

15

;

Изобразим точку оптимального выпуска при максимизации полезности на графике.

4. Вывести уравнения функций спроса на первый и второй товары. Построить кривые, отражающие зависимость спроса от цен на товары и от дохода потребителя.

Сначала найдем функцию спроса на первый товар. Для этого нужно решить систему и из первого уравнения выразить Q₂ и подставить во второе уравнение.

Итак, спрос на первый товар равен:

Найдем функцию спроса на второй товар:

Итак, спрос на второй товар равен: =

Построим кривые функции спроса, отражающие зависимость спроса от цен на товары.

M - константа.

По графику можно сделать вывод, что положение графика зависит от константы M. Чем больше M, тем больше объем продукции Q. Чем меньше цена, тем больший объем продукции согласен приобрести потребитель.

Построим кривые функции спроса, отражающие зависимость спроса от дохода потребителя. P - константа.

По графику можно сделать следующий вывод: чем больше доход М, тем больше объем покупаемой потребителем продукции. При этом чем больше цена Р, тем меньший объем продукции покупает потребитель.

5. Определить минимальный объем компенсации дохода при увеличении цены на первый товар на одну денежную единицу необходимого:

а) для сохранения объема покупки на прежнем уровне;

б) для сохранения получаемой полезности на прежнем уровне.

Сравнить полученные результаты.

А) Сохранение объема покупки на прежнем уровне – задача по методу Е. Слуцкого.

Так как цена на первый товар поднялась на 1 денежную единицу, а на второй товар осталась прежней, то:

и

Доход

Поскольку доход по условию M₀ = 60

Итак, по Е. Слуцкому минимальный объем компенсации дохода при увеличении цены на первый товар на одну денежную единицу необходимый для сохранения объема покупки на прежнем уровне равен 4.

Б) Сохранение получаемой полезности на прежнем уровне – задача по методу Хикса.

Решим систему:

Доход

Итак,

Результат, полученный по методу Хиска меньше результата, полученного по методу Слуцкого (

Задание 8.

Динамика реальной заработной платы w в классической макромодели определяется уравнением dw/dt =(N_d (w) – Ns (w))/a, где функции спроса N_d = N_d (w) и предложения Ns = Ns (w) рабочей силы приведены в приложении 8.

1. Найти равновесное значение реальной заработной платы w_e.

2. Вывести уравнение изменения размера реальной заработной платы со временем

w = w (t). Размер реальной заработной платы w₀ в момент времени t =0 приведен в приложении 8. Построить график полученной зависимости.

3. Определить возможность установления равновесия. Выяснить, будет ли равновесие устойчивым. Ответ обосновать.

Заданы коэффициент адаптации a реальной заработной платы w; зависимость предложения рабочей силы от размера реальной заработной платы N_s = N_s (w); зависимость спроса на рабочую силу от размера реальной заработной платы N_d = N_d (w); и размер реальной заработной платы в момент времени t = 0:

a = 4; N _d (w) =1000 – 0,25 (w – 200); N _s (w) =1000 + 0,2(w – 200); w(0) =100

Решение:

1. Найти равновесное значение реальной заработной платы w_e.

Для того чтобы найти равновесное значение реальной заработной платы W_e приравняем функции спроса и предложения рабочей силы N _d (w) = N _s (w):

N _d (w) =1000 – 0,25 (w – 200);

N _s (w) =1000 + 0,2 (w – 200);

Итак, равновесное значение реальной заработной платы

2. Вывести уравнение изменения размера реальной заработной платы со временем

w = w (t).

Подставим значения из условия задачи в формулу :

Разделяя переменные в дифференциальном уравнении, получаем:

=

Используя начальное условие w(0) =100, получим зависимость размера реальной заработной платы от времени:

Итак, уравнение изменения размера реальной заработной платы со временем будет выглядеть следующим образом:

На графике изображена зависимость реальной заработной платы w от времени t.

3. Определить возможность установления равновесия. Выяснить, будет ли равновесие устойчивым. Ответ обосновать.

Так как , то равновесие:

А) достижимо

Б) устойчиво

Задание 9.

Динамика основных производственных фондов некоторой отрасли определяется уравнением dK/dt =I – mK, где объем инвестиций I и коэффициент выбытия фондов m приведены в приложении 9.

1. Вывести уравнение изменения объема производственных фондов со временем K =K(t). Объем производственных фондов K₀ в момент времени t =0 приведен в приложении 9. Построить график полученной зависимости.

2. Определить, будет ли объем производственных фондов увеличиваться или сокращаться. До какого объема возможно увеличение (сокращение) производственных фондов? Ответ обосновать.

I = 90; m = 0,2; K(0) =100;

Решение:

1. Вывести уравнение изменения объема производственных фондов со временем K =K(t). Объем производственных фондов K₀ в момент времени t =0 приведен в приложении 9. Построить график полученной зависимости.

Из условия задачи следует, что:

Разделяя переменные в дифференциальном уравнении, получаем:

-5 ln |K-450 | = t + lnC

ln |K-450 | = - 0,2 t + lnC

K-450 = Ce^-0,2t

K(t) = 450+ Ce^-0,2t

Используя начальное условие K(0) =100, получим зависимость объема производственных фондов от времени:

2. Определить, будет ли объем производственных фондов увеличиваться или сокращаться. До какого объема возможно увеличение (сокращение) производственных фондов? Ответ обосновать.

Объем производственных фондов будет увеличиваться до 400, т.к.