Вопрос №11

Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A  n. Всякая лин. комбинация решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы. Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

Вопрос №13

Векторы на плоскости и в пространстве. Линейные операции над векторами, их св-ва. Базис их плоскости и в пространстве. Ортонормированный базис

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом Rn (R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства R разлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы -- 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не 1) коллиниарны (2) компланарны).

 Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице. 

Вопрос №14

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Скалярное произведение векторов и их св-ва. Критерий перпендикулярности векторов, угол между векторами, длина векторов

В математике используется 2 вида величин: а) скалярные – величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (длина, площадь, объём, масса и т.д.); б) векторные – величины, для полного определения которых помимо численного значения требуются ещё и направления в пространстве (изображаются при помощи векторов). Вектор – направленный отрезок на плоскости или в пространстве, имеющий определённую длину, у которого одна из точек принята за начало, а другая за конец. Координатами вектора а являются координаты его конечной точки. Длиной вектора (нормой) или модулем называется число, равное длине отрезка, изображающего вектор ax2+y2(+z2). Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается 0. ( направление 0 произвольно, не определено). Для каждого а, отличного от 0, существует противоположный -а, который имеет модуль, равный а, коллиниарен с ним, но направлен в другую сторону. Два вектора а ив называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Два вектора называются равными, если они: 1)имеют равные модули; 2)коллиниарны; 3)направлены в одну сторону.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора а ив называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственным образов разлагается по векторам её базиса.

Скалярным произведением двух векторов   и   называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними