9. . Тригонометриялық функцияның интегралы(мысал келтір)

Тригонометриялық ф-ды интг кейбір теоремаларын қарастырайық. Рационалдық амалдар орындалатын (қосу,азайту,көбейту ж\е бөлу) айнымалылары sinx,cosx болатын ф-ны былайша R (sinx,cosx) белгілейміз, мұны R-рационалдық ф-ң белгісі. (sinx,cosx)dx түріндегі интг-ды табу, ауыстырмалы tg =t болатын рационал ф-ң интг табуға ұштастырады. Айнымалыны мына түрде tg =t ауыстыруды универсал ауыстырылым д.а Мысал; = = = = d(t-2)=- +c= +c= +C

10.Тригонометриялық функцияның интегралы (мысал келтір)

11. Тригонометриялық функцияның интегралы мысал

12. Тригонометриялық функцияның интегралы мысал

13.Анықталмаған интеграл және оның негізгі қасиеттері (Анықтамасына дейінгі алғы шарттарды толығымен қарастыру) F(х) функциясының [a,b] кесіндісіндегі анықталған интегралы деп нөлге ұмтылғандағы интегралдың қосындысының шегін айтады:

Мұндағы a,в сандардың интегралдардың сәйкес төменгі және жоғарғы шектер деп аталады. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері

1. 

2. 

3. 

4. m(в-а)=

5. 

6. 

7. төменгі және жоғарғы шектің орындарын ауыстырсақ, онда ол интегралдың таңбасы өзгереді

14.Анықталған интегралдың бар болуының қажетті және жеткілікті шарттары Қажетті шарты. Функцияның [а,b] кесіндісінде интегралдануының қажетті шарты, оның осы кесіндіде шектеулі болып табылады.

Жеткілікті шарты. Егер f(x) функциясы [а,b] кесіндіде үзіліссіз болса онда ол осы кесіндіде интегралданады.

15. Анықталған интегралдың геометриялық және физкалық мағынасы Айталық [а,b] кесіндісінде үзіліссіз f(x)≥0 функция берілсін. Жоғарғы жағынан у=f(x) функциясының графигімен, төменгі жағынан 0y осімен ал қаптал жақтарынан x=a, x=в түзуінің шектелген денені қисық сызықты трапеция деп аталады.

Осы трапецияның ауданын табайық y=f(x)

Ол үшін [а,b] кесіндіде нүктелерімен n бөлікке бөлеміз: Х₀=а, Х_1,Х_2…, Хn=в, яғни [а,b] кесіндісі n кесіндіге бөлінеді. S_n=

Қисық сызықты трапецияның дәл ауданын S табу үшін шекті табамыз.

S= , демек

S=

Сонымен теріс емес функцияның мәні бойынша қисық сызықты трапецияның ауданына тең. А= , демек анықталған интегралдың физикалық мағынасы осы ұғымда жатыр.

16.Ньютон-Лейбниц формуласы.Теорема

17.Анықталған интегралда айнымалыны ауыстыру.Дәлелдеу

18. Анықталған интегралды бөлшектеп интегралдау тәсілі(алғы шарттары, толығымен) Айталық U=a(x), V=V(x) функциялары [а,b] кесіндісінде, өздерінің туындыларымен U'(x)=V'(x) бізге үзіліссіз болады.

U=(x)*V(x)'=U'(x)*V(x)+U(x)*V'(x)

1. Түріндегі теңдіктің екі жағын бірдей а-дан b-ға дейінгі шектерде интегралдайық.

[U(x)*V(x)] функциясы, мына функция [U(x)*V(x)] үшін алғашқы функция болатын болғандықтан онда Ньютон-Лейбниц формулашы бойынша ] теңдігін ала аламыз. Мысал: =U*V

Қандай шарт орындалғанда функционалдық қатар сандық қатармен мажорланады

Егер [а,b] кесіндісінде кез-келген n және барлық кесіндідегі x үшін мына теңсіздік а_n орындалатын болса, онда осы кесіндіде функционалдық қатар мажорланады деп аталады.

Бірқалыпты жинақты болатын тізбек пен қатардың қасиеттері

1. Теорема (шексіз функцияның үзіліссіздігі). Егер [а,b] кесіндідегі үзіліссіз функциялар тізбегі U₁(X), U₂(X),…U_n(X)…осы кесіндіде бірқалыпты U(X)функциясына жинақталатын болса, онда U(X) функциясы [а,b] кесіндісінде үзіліссіз функция болады.

2. Теорема.Мүшелері [а,b] кесіндісінде үзіліссіз бірқалыпты жинақты болатын қатардың қосындысы осы кесіндіде үзіліссіз функция болады.

3. Теорема. Кесіндідегі шектеулі үзіліссіз функциялардың қосындысы осы кесіндіде үзіліссіз функция болады.

19.Меншіксіз интеграл. (алғы шарттары, толығымен)

20.Қисық сызықты, сектордың полярлық координаталардың ауданы.Мысал

21.Қисық доғаның ұзындығы(алғы шарттары, толығымен)

22.Дене көлемі(параллель қима ауданы бойынша,айнымалы дене,мысал)

23.Еселі интегралдың анықтамасы.Негізгі қасиеттері

24.Декарттық координаталарда 2 еселі интегралды есептеу

25.Екі еселі интегралда айнымалыны ауыстыру(y= және полярлық жүйеде)

26.........................,., жәй дербес туындыны және дифференциалдық формадағы теңдеулер.Дәлелдеу

27.Коши теоремасы,оның геометриялық мағынасы

28.Айнымалыларын ажыратуға болатын диффенренциалдық теңдеу, оның жалпы интегралын алу жолын көрсет Айнымалыны ажыратуға болатын диф-қ теңдеу. Оның жалпы интегралы. Р(x)dx+Q(y)dy=0 айнымалылармен бөлінген диф-ды теңдеу д.а. Оның жалпы интегралы (1) M1(x)N1(y)dx+M2(x)N2(y)dy=0 (2) н\е = =f1(x)f2(y), = = айнымалдармен бөлінген теңдеулер д.а. Айнымалдардың (2),(3) теңдеулерге бөлінуі келесі түрде орындалады. (y) 0, (x) деп алайық және теңдеудің 2 бөлігін (y), (у)-ға бөлеміз.Нәтижсінде айнымалылармен бөлінген теңдеу аламыз; dy=0 f1(x)dx- =0 ол формулаға сәйкес интегралданады; + =c dx- =c Мысал; Диф-ды теңдеудің жалпы шешімін табайық. (xy+y)dx+(xy+x)dy=0 x , y деп алып және берілген теңдеудің 2 бөлігің ху-ға бөлініп, айнымалдар ммен бөлінген теңдеу аламыз; )dx+ 1+ )dy=ln , x+ln +y+ln =ln , ln +ln =ln , xy =c Соңғы теңдеудің ортаө интегралы болып саналады. Оны табу кезінде х , у шектеу қоладанылады.Бірақ х=0 және у=0 ф-р сондай ақ бастапқы теңдеулердің шешулері болып саналады, олар с=0 кезіндей жалпы интегралдан алынады. Демек, х=0,y=0 теңдеудің дербес шешімі.

29.Симметриялы дифференциалдық формадағы берілген теңдеу.Оның шешімі P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

30.Біртекті теңдеу және оның шешімін табу жолын көрсет Анықтама; Егер кез келген t-ның мәндері үшін мына теңдік f(tx1y)= f(x,y) орындалатын боса, онда f(x,y) ф-ң өзінің х жән у аргументіне салыстырғанда n-өлшемді біртекті ф-я д.а.

31.Бірінші ретті сызықты біртекті емес дифференциал теңдеудің шешімін табу жолын көрсет У белгісіз ф-лар мен оның туындысына қатысты сызықтық теңдеуі +P(x)y=Q(x) бірінші реттік yбіртекті емес сызықтық ф-ды теңдеу д.а P(x) және Q(x) ф-сы кейбір аймақтарда үзіліссіз болуы тиіс, мысалы кесіндісінде, Коши теоремасының болу шарты және жалғыз шешуінің болуы орындалу үшін Теңдеудің жалпы шешуің әрқашанда келесі түрде жазуға болады. y= ( x) dx+c) м-ғы С-кез-келген тұрақты. Осылайша теңдеудің жалпы шешуіне әрқашан квадраттаулармен бірге, яғни P(x),Q(x) блгілі ф-дан интегралдарды табу кезінде кез-келген тұрақтыны нөлге тең деп санауға болады н\е с кез келген тұрақтыға енгізілген сияқтыол да сондай.

32. Бірінші ретті сызықты біртекті дифференциалдық теңдеудің шешімің табу жолын көрсет Егер теңдеу +P(x)y=Q(x) Q(x) D н\е P(x) 0 боса, онда жалпы шешуі сәйкесінше Q(x) 0 н\е P(x) 0 кезінде теңдеуден y= ( x) dx+C) анықталатын, айнымалдар бөлінетің диф-ды теңдеу аламыз.Q(x)=0 болған жағдайда, теңдеуді +P(x) Q(x) Q(x) біртекті сызықтық диф-ды теңдеу д.а

33.Дифференциадық теңдеудің толық дифференциалдық теңдеуі болуы үшін қажетті және жеткілікті шарттары Теорема;P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 түріндегі теңдеудің толық диф-ды теңдеу болуы үшін мына шарт орындалады = (2) қажетті және жеткілікті шарт болып табылады. Егер (2) орындалса онда du= d + dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy теңдігі орындалады. Мысал Берілген теңдеудің толық диф-ды екендігін көрсету керек. (3 +10xy)dx+( -1)dy=0 ол үшін дербес туындыларды табамыз. P(x,y)= 3 +10xy, Q(x,y)= -1 =( +10xy y=10, =( -1 x=10x демек = шшарт орындалады, теңдеу толық диф-ды.

34.Я.Бернулли теңдеуі шешімін табу жолын көрсет Мына түрде берілген теңдеуді p(x)y=Q(x) - Бернули теңдеуі д.а. Мұндағы P(x),Q(x) үзіліссіз ф-лар n-нақты сан, егер n=0 боса, онда теңдеу біртекті сызықты теңдеу, яғни айнымалын ажыратуға болатын теңдеу болады. Теңдеуді шешу үшің мына түрдегі z= , = =(1-n) , аБернулли теңдеуін шешуде оның шешімін 2 басқа ф-дың y= v көбейтінділері түрінде ізделінеді u=u(x), v=v(x). Айталық n=0 +P(x)y=Q(x) y=U V, = V+U өрнектерін орындарына қояйық. Сонда V+U +P(x)uv=Q(x)

35.Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі Коши сбінің бар және жалғыз болуы туралы теорема Табиғатта болатын құбылыстарды зерттегенде, көбінесе сан құбалыстарды сипаттайтын ф-лар мен олардың туындыларының арасындағы байланыстарды қарастырамыз. Мұндай байланыстарды зерттйтін математиканың саласын Лейбниц диф-қ теңдеулер д.а. Анықтама; Ф-ң аргументін, ізделінетің ф-ны және оның туындыларын n-ретті диф-қ теңдеу д.а. n-ретті диф-қ теңдеудің жалпы түрі F(x,y, , ,...., )=0 н\е жоғарғы ретті туындысына байланысты =f(x,y, ,...., Коши есебінің бар және жалғыз болуы туралы теорема. егер f(x,y) ф-сы ХОХ жазықтығындағы қайсыбір облысында үзілліссіз болып және осы туындысы бар болатын боса, онда осы облыста М( , ) нүктесі қандай боса да, =f(x,y) ңдеуінің мына нүктені x= , ( )= қабылдайтын анықталған аралықта шешімі y= (x) бар және ол жағыз.

36.Ретті төмендететің жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеу.Жалпы шешімі.Мысал Жоғарғы ретті диф-қ теңдеудің ретін төмендету тәсілі болып табылады. Жоғарғы ретті теңдеудің қарапайым түрін жазайық =f(x) теңдіктің 2 жағын бірдей х бойынша интр-у арқылы жалпы интг-н табайық. = dx+C1 тағы да осы тәрізді интг-у арқылы = dx+c2= dx+C1x+C2

y= ... dx+c1 + C2+...Cn Мысал; Берілген бастапқы шарттарды x= =0 y(0)= =-1, ( )= =0 қанағаттандыратын = теңдеунің дербес шешімін табамыз. = dx= dx+c1 = dx+c1)dx= +c1x+c2 y= +c1x+c2)dx= + +c2x+c3