Закон Пуассона.
Рассмотрим
прерывную случайную величину 
,
которая может принимать только целые,
неотрицательные значения:
,
причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.
Говорят,
что случайная величина
распределена
по закону Пуассона, если вероятность
того, что она примет определенное
значение 
,
выражается формулой
,
где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.
Ряд распределения случайной величины , распределенной по закону Пуассона, имеет вид:
Теорема
был
бы безгранично делим необходимо и
достаточно, чтобы
=lim
последовательности конечных
композиций законов Пуассона.
Доказательство:
I. Достаточность:
Пусть F(x)=lim
законов
-
характеристическая функция
и
-
вещественное,
.
Рассмотрим
и рассмотрим
характеристической функции как lim характеристической функции.
II. Необходимость:
F(x) – безгранично делим: характеристическая функция
,
характеристическая
функция.
(из леммы).
;
,
тогда
.
.
увеличивается
,
тогда
.
(n – фиксированное).
(при достаточно больших m).
(композиция законов Пуассона).
,
.
,
ч.т.д.
Некоторые свойства безгранично делимых законов.
Предел последовательности безгранично делимых законов – безгранично делимый закон.
Композиция конечного числа безгранично делимых законов – безгранично делимый закон.
Если
характеристическая
функция безгранично делимого закона,
а
,
тогда
- тоже безгранично делимая функция
(безгранично делимый закон).
Доказательство:
Рассмотрим последовательность
,
-
характеристическая функция.
-
характеристическая функция,
тоже
характеристическая функция безгранично
делимого закона.
Формула Хинчина – Леви.
Характеристическая функция любого безгранично делимого закона выражается в следующем виде:
,
G(u)
– любая неубывающая функция.
характеристическая функция бесконечно делимого закона.
Замечание:
Если известно, что есть натуральный
логарифм характеристической функции,
то ясно, что это характеристическая
функция безгранично делимого закона,
так как
Примеры.
Закон Гаусса (нормальный) a2
,
то есть
,
,
,
,
.
Закон Пуассона
имеет
скачок в точке
≠ 0.
.
,
Теорема Шварцшильда.
,
и
- независимые случайные величины.
Пусть
и
- нормально распределённые случайные
величины. Тогда
- также нормально распределённая
случайная величина.
Пусть:
- характеристическая функция величины
;
- характеристическая функция величины
;
- характеристическая функция величины
.
Тогда
,
;
;
;
характеристическая функция
нормального закона с параметрами
дисперсия мат. ожидание
Теорема Крамера.
Если
и
- независимые случайные величины, а
- нормально распределена, то и
-
имеют нормальные распределения.
Доказательство:
Предположим, что нормальный закон распределения является нормированным. Тогда:
-характеристическая
функция величины
,
а
-
характеристическая функция величины
;
;
;
функция
распределения
функция
распределения
Тогда:
(1)
t
–
вещественная. Положим
,
тогда:
Рассмотрим
и
.
;
,
,
,
.
Начиная с некоторой
:
,
,
-
сходится при чисто мнимых t.
;
;
;
.
Получаем:
и
.
Найдём а>0
из условия:
и
.
;
.
.
.
,
,
.
;
.
Для любых комплексных t:
;
;
.
Ни один из множителей не равен нулю.
-
целые функции комплексной переменной,
не обращающиеся в нуль, их логарифмы
будут целыми функциями.
;
.
(2)
Известно, что
- ряд сходится на всей плоскости.
Пусть t
лежит на окружности
круга радиуса
с центром в начале координат, тогда
,
то есть:
(при достаточно больших значениях
).
(с учётом оценки сверху(2))
;
,
.
Постараемся построить оценку. Легко увидеть, что:
.
;
;
;
;
;
.
Аналогично:
.
Имеем многочлен 2-ой степени:
,
,
и
и
,
,
.
;
.
,
А1 и А2
- вещественные,
а В1 и В2 - мнимые.
;
.
;
.
.
- характеристические функции нормального закона.
.
ч.т.д.
Устойчивость теоремы Крамера.
Закон распределения
близок к нормальному. Можно доказать
что тогда законы распределения
близки к нормальному.
Обобщение теоремы Крамера.
нормально
распределенная случайная величина,
тогда
-
тоже нормально распределенные случайные
величины.
3.
Райков доказал, что
распределены
по закону Пуассона, то
тоже
распределены по закону Пуассона.
Литература: Линник «Разложение вероятностных законов».