Каузальная аппроксимация ифнч

П ример 2.5.1. В качестве первого примера рассмотрим симметрично усечённую импульсную характеристику ИФНЧ (рис. 2.5.6а).

Рис. 2.5.6. Каузальная импульсная характеристика (а)

и соответствующая ей АЧХ (б)

Аналитическое выражение такой каузальной импульсной характеристики имеет вид

Функция получается стробированием идеальной характеристики прямоугольным окном длительностью и последующим сдвигом вправо на Выбирая достаточно большое и пренебрегая «хвостами» в области отрицательных значений наверное можно с любой наперёд заданной точностью аппроксимировать ИФНЧ физически реализуемой системой с импульсной характеристикой, показанной на рис. 2.5.6а. Однако нетрудно показать, что для больших конечных значений преобразование Фурье для приближается по форме к АЧХ ИФНЧ, за исключением всплесков конечной амплитуды на границах полосы частот, как показано на рис. 2.5.6б. Площадь под указанными всплесками стремится к нулю при увеличении С увеличением выброс приближается к точке разрыва и колебания затухают быстрее. Всплески являются следствием явления Гиббса, которое иллюстрируется на рис. 2.5.7, где показан процесс получения свёртки

ч астотной характеристики ИФНЧ с частотной характеристикой прямоугольного вырезающего окна

Функция называется ядром Дирихле. Теоретически всплески являются следствием медленного спадания «хвостов» импульсной характеристики поэтому их можно искусственно подавить, если использовать оконные функции, отличные от прямоугольной.

Рис. 2.5.7. Явление Гиббса

Пример 2.5.2. Рассмотрим каузальную импульсную характеристику

З десь умножается на оконную функцию в виде симметричного треугольного импульса. Функция и её спектр изображены на рис. 2.5.8.

Р ис. 2 .5.8

Частотная характеристика треугольного окна

носит название ядра Фейера. Как видно из этого рисунка, ядро Фейера по сравнению с ядром Дирихле имеет значительно меньшие боковые лепестки, причём они однополярные. В результате свёртки частотная характеристика каузального фильтра, соответствующая , будет аппроксимировать частотную характеристику ИФНЧ без заметных всплесков (рис. 2.5.9)

Рис. 2.5.9

Фильтры Баттерворта и Чебышева

Рассмотрим некоторые физически реализуемые фильтры нижних частот. Основное назначение таких фильтров с наименьшими потерями передавать на выход колебания с частотами где –так называемая частота среза фильтра. В то же время компоненты с более высокими частотами должны существенно подавляться. Обычно частота среза выбирается равной половине частоты дискретизации

Удобно рассматривать квадрат модуля частотной характеристики фильтра – так называемый коэффициент передачи мощности

Эта характеристика всегда вещественна и потому удобна для задания исходных данных к синтезу фильтров.

На практике широко используются аппроксимации идеальной характеристики ФНЧ по Баттерворту и по Чебышеву.

Фильтр Баттерворта. Для этого фильтра выбирается рациональная аппроксимирующая функция

где – целое число, определяющее порядок фильтра. Эта функция изображена на рис. 2.5.10.

Рис. 2.5.10

Параметры фильтра и рассчитываются следующим образом. Сначала запишем два условия для границ переходной полосы

(рис. 2.5.11)

Рис. 2.5.11

Отсюда

Поделим первое равенство на второе, тогда

Решая относительно получим

Из первого равенства находим частоту среза

Таким образом, все параметры функции определены по заданным ослаблениям

на границах переходной полосы

Основные свойства фильтра Баттерворта:

• на частоте среза ослабление, вносимое фильтром, составляет и не зависит от порядка фильтра

• функция монотонно убывает с ростом и имеет максимальное значение, равное единице, при

• первые производных функции равны нулю при по этой причине фильтры Баттерворта называют фильтрами с максимально плоскими частотными характеристиками;

• чем больше тем точнее аппроксимируется идеальная форма частотной характеристики ФНЧ (рис. 2.5.10);

• для нормированной частоты имеем

и ослабление, выраженное в децибелах, Отсюда видно, что при увеличении частоты вдвое ослабление в фильтре Баттерворта возрастает на поэтому можно сказать, что порядок фильтра связан с крутизной характеристики отношением

При фильтр обеспечивает после затухание

Фильтр Чебышева. Практическое применение находит другой способ аппроксимации частотной характеристики идеального фильтра нижних частот, известный под названием чебышевской аппроксимации. Коэффициент передачи мощности чебышевского ФНЧ для нормированной частоты даётся выражением

Здесь коэффициент, задающий неравномерность в полосе пропускания, а полином Чебышева го порядка, определяемый соотношениями

Для полиномов Чебышева имеет место рекурентное соотношение

причём

На рис. 2.5.12 демонстрируется колебательный характер полиномов Чебышева в интерваеле При имеет быстрый рост Асимптотически для

Рис. 2.5.12

Х арактерной особенностью этих полиномов является то, что среди всех полиномов степени с одинаковым коэффициентом при старшем члене функция имеет наименьшее отклонение от нуля на интервале На границе полосы пропускания при для всех Типичный график функции показан на рис.2.5.13 для двух различных значений и при одном значении неравномерности

Рис. 2.5.13

С ростом крутизна спада частотной характеристики ФНЧ с чебышевской аппроксимацией на частотах выше граничной увеличивается значительно.

Пример 2.5.3. Фильтр с чебышевской характеристикой 3-го порядка на частоте среза обеспечивает ослабление мощности в два раза. Определить ослабление, вносимое этим фильтром на частоте

На частоте среза и при любом Поэтому из

находим Многочлен Чебышева 3-го порядка с учётом будет иметь вид

Ослабление, вносимое фильтром на частоте составит

Аналоговые фильтры Баттерворта и Чебышева реализуются с помощью каскадного соединения звеньев, отделённых друг от друга развязывающими повторителями.

Замечание. Задача определения степени близости реального ФНЧ к идеальному возникает постоянно. Для этого может быть использован метод наименьших квадратов. Другой критерий близости критерий Чебышева, который в качестве меры расстояния между двумя кривыми использует максимальное расстояние между ними. При приближении по Чебышеву параметры подбираются таким образом, чтобы сделать максимальную ошибку как можно меньше, т. е. минимизируется максимальная ошибка. Поэтому этот процесс часто называют минимаксной стратегией приближения. Для фильтров Чебышева минимаксный критерий является основным.